Primteiler von Binomialkoeff. < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei p eine Primzahl. Zeigen sie: für alle ganze Zahlen k mit 1<k<p-1 ist p ein Teiler von [mm] \vektor{p\\ k} [/mm] |
Auch hier brauche ich Hilfe. Ich vermute, dass es nicht schwer ist. Wahrscheinlich funktioniert es mit der Definition vom Binomialkoeffizient - da komme ich aber dann auch nicht weiter.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:51 Mo 06.03.2006 | | Autor: | felixf |
> Sei p eine Primzahl. Zeigen sie: für alle ganze Zahlen k
> mit 1<k<p-1 ist p ein Teiler von [mm]\vektor{p\\ k}[/mm]
> Auch hier
> brauche ich Hilfe. Ich vermute, dass es nicht schwer ist.
> Wahrscheinlich funktioniert es mit der Definition vom
> Binomialkoeffizient - da komme ich aber dann auch nicht
> weiter.
Mit der Definition von Binomialkoeffizient liegst du schon ganz richtig. Das ist ja ein Bruch, wo im Zaehler und im Nenner nur ganze Zahlen stehen. Wenn du jetzt zeigst, dass der Zaehler nicht durch $p$ geteilt wird, so kann der ganze Bruch (der wieder eine ganze Zahl ist) ja auch nicht durch $p$ geteilt werden; das ist im Prinzip die Eindeutigkeit der Zerlegung in Primzahlen.
Hast du eine Idee, wie du zeigst, dass der Zaehler nicht durch $p$ geteilt wird?
LG Felix
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Hallo, erstmal Danke für die Antowrt. Aber ist es nicht offensichtlich, dass der Zähler durch p Teilbar ist, schon wegen der Fakultät? Wahrscheinlich ist aber das Fakultätszeichen bei Primzahlen nicht wie üblich darstellbarb, nämlich p! =p.(p-1).(p-2)....???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:22 Mi 08.03.2006 | | Autor: | felixf |
> Hallo, erstmal Danke für die Antowrt. Aber ist es nicht
> offensichtlich, dass der Zähler durch p Teilbar ist, schon
> wegen der Fakultät?
Das stimmt.
> Wahrscheinlich ist aber das
> Fakultätszeichen bei Primzahlen nicht wie üblich
> darstellbarb, nämlich p! =p.(p-1).(p-2)....???
Doch, das geht.
Nur, was noch fehlt: Du musst zeigen, dass der Nenner nicht durch $p$ geteilt wird! (Ansonsten kuerzt sich das $p$ ja wieder aus dem Zaehler raus und im Endeffekt koennte keins mehr uebrig bleiben...)
LG Felix
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