Primzahl, ax+b < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Es seinen a,b [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] ggt(a,b)\not= [/mm] 1. Zeige: Es gibt höchstens eine Primzahl der Form a*n+b, [mm] n\in \IN. [/mm] |
Hi,
kann mir vielleicht jemand bei dieser Aufgabe weiterhelfen?? Komme da irgendwie nicht weiter.
Danke.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:57 Mo 30.05.2011 | | Autor: | abakus |
> Es seinen a,b [mm]\in \IN[/mm] mit [mm]ggt(a,b)\not=[/mm] 1. Zeige: Es gibt
> höchstens eine Primzahl der Form a*n+b, [mm]n\in \IN.[/mm]
>
> Hi,
>
> kann mir vielleicht jemand bei dieser Aufgabe
> weiterhelfen?? Komme da irgendwie nicht weiter.
Angenommen, es gibt eine zweite Primzahl.
Dann sind sowohl [mm] a*n_1+b [/mm] als auch [mm] a*n_2+b [/mm] prim.
Da beides Primzahlen sind, müsste ihr ggT 1 sein.
Der ggT von [mm] a*n_1+b [/mm] und [mm] a*n_2+b [/mm] ist allerdings auch der ggT der Differenz dieser beiden Werte...
Gruß Abakus
>
> Danke.
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HI
> Angenommen, es gibt eine zweite Primzahl.
> Dann sind sowohl $ [mm] a\cdot{}n_1+b [/mm] $ als auch $ [mm] a\cdot{}n_2+b [/mm] $ prim.
> Da beides Primzahlen sind, müsste ihr ggT 1 sein.
> Der ggT von $ [mm] a\cdot{}n_1+b [/mm] $ und $ [mm] a\cdot{}n_2+b [/mm] $ ist allerdings auch > der ggT der Differenz dieser beiden Werte...
d.h. doch:
Sei [mm] d=ggT(a\cdot{}n_1+b,a\cdot{}n_2+b) [/mm]
[mm] d|a\cdot{}n_1+b [/mm]
und
[mm] d|a\cdot{}n_2+b [/mm]
und damit auch: [mm] d|(a\cdot{}n_1+b)-(a\cdot{}n_2+b)=a(n_1-n_2)
[/mm]
und hieraus folgt [mm] n_1=n_2.
[/mm]
Damit existieren keine zwei Primzahlen??
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:25 Mo 30.05.2011 | | Autor: | abakus |
> HI
>
> > Angenommen, es gibt eine zweite Primzahl.
> > Dann sind sowohl [mm]a\cdot{}n_1+b[/mm] als auch [mm]a\cdot{}n_2+b[/mm]
> prim.
> > Da beides Primzahlen sind, müsste ihr ggT 1 sein.
> > Der ggT von [mm]a\cdot{}n_1+b[/mm] und [mm]a\cdot{}n_2+b[/mm] ist
> allerdings auch > der ggT der Differenz dieser beiden
> Werte...
>
> d.h. doch:
>
> Sei [mm]d=ggT(a\cdot{}n_1+b,a\cdot{}n_2+b)[/mm]
>
> [mm]d|a\cdot{}n_1+b[/mm]
>
> und
>
> [mm]d|a\cdot{}n_2+b[/mm]
>
> und damit auch:
> [mm]d|(a\cdot{}n_1+b)-(a\cdot{}n_2+b)=a(n_1-n_2)[/mm]
>
> und hieraus folgt [mm]n_1=n_2.[/mm]
Nein, hieraus folgt, dass a ein Teiler beider Primzahlen ist (bzw. wäre).
Gruß Abakus
>
> Damit existieren keine zwei Primzahlen??
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hmmmm,
aber wieso folgt dann daraus die Beh??
Denn in der Voraus steht doch [mm] ggT(a,b)\not=1.
[/mm]
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Achso,
jetzt habe ich verstanden, was du meinst.
Damit erhalten wir den Widerspruch, denn als Primzahlen können die beidne Zahlen gar nicht einen Teiler a besitzen.
Man könnte doch diese Aufgabe auch umdrehen, oder??
Also:
Es seinen a,b $ [mm] \in \IN [/mm] $ mit $ ggt(a,b)= $ 1. Zeige: Es unendlich viele Primzahl der Form a*n+b, $ [mm] n\in \IN. [/mm] $
Wie könnte man das beweisen??
Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:14 Mo 30.05.2011 | | Autor: | abakus |
> Achso,
>
> jetzt habe ich verstanden, was du meinst.
>
> Damit erhalten wir den Widerspruch, denn als Primzahlen
> können die beidne Zahlen gar nicht einen Teiler a
> besitzen.
Es sei denn, a wäre 1. Das ergibt aber einen Widerspruch, denn dann könnte ggt(a,b) nicht ungleich (und damit größer als) 1 sein.
>
>
> Man könnte doch diese Aufgabe auch umdrehen, oder??
>
> Also:
>
> Es seinen a,b [mm]\in \IN[/mm] mit [mm]ggt(a,b)=[/mm] 1. Zeige: Es unendlich
> viele Primzahl der Form a*n+b, [mm]n\in \IN.[/mm]
>
>
> Wie könnte man das beweisen??
>
> Grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Mo 30.05.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo Ihr beiden,
es ist hier ja nicht alles gegeben.
Wenn ggT(a,b)=b mit [mm] b\in\IP [/mm] ist und [mm] x\in\IZ [/mm] bzw. [mm] x\in\IN_0 [/mm] möglich ist, dann hat die Gleichung ja eine Lösung:
a*0+b ist dann nämlich prim.
Grüße
reverend
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> Man könnte doch diese Aufgabe auch umdrehen, oder??
>
> Also:
>
> Es seinen a,b [mm]\in \IN[/mm] mit [mm]ggt(a,b)=[/mm] 1. Zeige: Es unendlich
> viele Primzahl der Form a*n+b, [mm]n\in \IN.[/mm]
Wie kommst du dazu, dies als eine "Umdrehung" oder
"Umkehrung" der ursprünglichen Aufgabe zu bezeichnen ?
Das stimmt in keinem denkbaren Sinn.
Das Gegenteil von "höchstens eine Primzahl" ist doch
keineswegs "unendlich viele Primzahlen".
Die ursprüngliche Aufgabe lautete:
Es seien a,b $ [mm] \in \IN [/mm] $ mit $ [mm] ggt(a,b)\not= [/mm] $ 1.
Zeige: Es gibt höchstens eine Primzahl der Form a*n+b, $ [mm] n\in \IN. [/mm] $
Übrigens kann man unter den Voraussetzungen
a,b $ [mm] \in \IN [/mm] $ mit $ [mm] ggt(a,b)\not= [/mm] $ 1
ganz leicht auch zeigen, dass es gar keine
Primzahl der Form a*n+b mit [mm] n\in \IN [/mm] gibt ...
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:06 Di 31.05.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > Man könnte doch diese Aufgabe auch umdrehen, oder??
> >
> > Also:
> >
> > Es seinen a,b [mm]\in \IN[/mm] mit [mm]ggt(a,b)=[/mm] 1. Zeige: Es unendlich
> > viele Primzahl der Form a*n+b, [mm]n\in \IN.[/mm]
Das ist wahr, allerdings ist das nicht gerade trivial. Und vor allem folgt es nicht aus der Aussage, die ihr zeigne solltet. Das Ergebnis ist als ![[]](/images/popup.gif) Dirichletscher Primzahlsatz bekannt.
> Die ursprüngliche Aufgabe lautete:
>
> Es seien a,b [mm]\in \IN[/mm] mit [mm]ggt(a,b)\not=[/mm] 1.
> Zeige: Es gibt höchstens eine Primzahl der Form a*n+b,
> [mm]n\in \IN.[/mm]
>
>
> Übrigens kann man unter den Voraussetzungen
>
> a,b [mm]\in \IN[/mm] mit [mm]ggt(a,b)\not=[/mm] 1
>
> ganz leicht auch zeigen, dass es gar keine
> Primzahl der Form a*n+b mit [mm]n\in \IN[/mm] gibt ...
Wenn du $n = 0$ zulaesst, dann kann es sehr wohl welche geben  Etwa falls $b$ selber prim ist und $a$ ein Vielfaches von $b$ ist, dann ist $a [mm] \cdot [/mm] 0 + b$ prim.
Das sind aber auch die einzigen Faelle, und wegen dieser lautet die Formulierung der Aufgabe, dass es hoechstens eine solche Primzahl gibt.
Edit: ich sehe gerade, reverend hatte das auch schon geschrieben...
LG Felix
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Hi,
nochmal eine kleine Frage.
Also ich zeige insgesamt, so wie es abakus geschrieben hat, dass es nur eine Primzahl geben kann. Und diese Primzahl existiert sogar dann nur, wenn ich den ggT(a,b) berechne, wobei b prim ist und ich dann für n=0 einsetze, was laut Vor. möglich ist.
richtig???
Grüße
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Hallo nochmal,
> nochmal eine kleine Frage.
>
> Also ich zeige insgesamt, so wie es abakus geschrieben hat,
> dass es nur eine Primzahl geben kann. Und diese Primzahl
> existiert sogar dann nur, wenn ich den ggT(a,b) berechne,
> wobei b prim ist und ich dann für n=0 einsetze, was laut
> Vor. möglich ist.
>
> richtig???
Hm, das ist nicht sauber formuliert. Schau nochmal in den Beiträgen in diesem Thread nach. Es ging darum, dass ggT(a,b)=b ist, nicht darum, dass Du den ggT irgendwie berechnest.
Grüße
reverend
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> > Übrigens kann man unter den Voraussetzungen
> >
> > a,b [mm]\in \IN[/mm] mit [mm]ggt(a,b)\not=[/mm] 1
> >
> > ganz leicht auch zeigen, dass es gar keine
> > Primzahl der Form a*n+b mit [mm]n\in \IN[/mm] gibt ...
>
> Wenn du [mm]n = 0[/mm] zulaesst, dann kann es sehr wohl welche geben
> LG Felix
n=0 lasse ich eben nicht zu. Für beginnt [mm] \IN [/mm] immer noch
mit 1. [mm] \IN [/mm] mit Null schreibe ich als [mm] \IN_0 [/mm] .
Jetzt habe ich allerdings mit einigem Befremden festgestellt,
dass es sogar eine DIN-Norm geben soll (DIN 5473), nach der
die Null zu [mm] \IN [/mm] gehören soll und die mit 1 beginnende Menge
ein Sternchen tragen muss: [mm] \IN^{\*} [/mm] .
Gerade in einer Aufgabe mit klar zahlentheoretischem
Inhalt scheint mir die neue Konvention wirklich proble-
matisch. Was wäre z.B. dann etwa ggT(0,0) ?
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:58 Di 31.05.2011 | | Autor: | felixf |
Moin,
> > > Übrigens kann man unter den Voraussetzungen
> > >
> > > a,b [mm]\in \IN[/mm] mit [mm]ggt(a,b)\not=[/mm] 1
> > >
> > > ganz leicht auch zeigen, dass es gar keine
> > > Primzahl der Form a*n+b mit [mm]n\in \IN[/mm] gibt ...
> >
> > Wenn du [mm]n = 0[/mm] zulaesst, dann kann es sehr wohl welche geben
>
> n=0 lasse ich eben nicht zu. Für beginnt [mm]\IN[/mm] immer noch
> mit 1. [mm]\IN[/mm] mit Null schreibe ich als [mm]\IN_0[/mm] .
Das ist eine Moeglichkeit, ich mach das anders. (Und der Aufgabensteller hier offenbar auch.)
> Jetzt habe ich allerdings mit einigem Befremden
> festgestellt,
> dass es sogar eine DIN-Norm geben soll (DIN 5473), nach
> der
> die Null zu [mm]\IN[/mm] gehören soll und die mit 1 beginnende
> Menge
> ein Sternchen tragen muss: [mm]\IN^{\*}[/mm] .
Es gibt einige komische DIN-Normen, und diese hier gehoert eindeutig dazu. Ich kenne keinen Mathematiker, der sich jemals auf diese DIN-Norm berufen hat...
> Gerade in einer Aufgabe mit klar zahlentheoretischem
> Inhalt scheint mir die neue Konvention wirklich proble-
> matisch. Was wäre z.B. dann etwa ggT(0,0) ?
Nun, ggT(0, 0) ist undefiniert bzw. existiert nicht. Der ggT existiert nur dann, wenn mindestens eins der Elemente [mm] $\neq [/mm] 0$ ist. (Oder wenn man in pathologischen Ringen unterwegs ist - man muss sich ja nicht auf [mm] $\IZ$ [/mm] beschraenken.)
In der Zahlentheorie braucht man schon oft 0 ebenfalls als natuerliche Zahl (z.B. bei der Primfaktorzerlegung: sobald man verschiedene Zahlen als Primzahlpotenzprodukt schreiben will mit den gleichen Primzahlen, braucht man fast immer 0 als Exponent). Insofern ist das fuer mich kein Grund, hier $0 [mm] \not\in \IN$ [/mm] anzunehmen. Es ist einfach Geschmackssache :)
LG Felix
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> > n=0 lasse ich eben nicht zu. Für beginnt [mm]\IN[/mm] immer noch
> > mit 1. [mm]\IN[/mm] mit Null schreibe ich als [mm]\IN_0[/mm] .
>
> Das ist eine Moeglichkeit, ich mach das anders. (Und der
> Aufgabensteller hier offenbar auch.)
Hallo Felix,
von welcher Definition von [mm] \IN [/mm] der Aufgabensteller ausge-
gangen ist, wissen wir ja gar nicht.
Die Behauptung, dass es zu gegebenen [mm] a,b\in\IN [/mm] höchstens
eine Primzahl der Form $\ p=a*n+b$ gibt, falls [mm] ggT(a,b)\not=1 [/mm] ,
ist jedenfalls in beiden Fällen richtig.
LG Al
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:39 Di 31.05.2011 | | Autor: | jaruleking |
Hi,
sorry, dass ich eine Info ausgelasen habe.
Es hieß [mm] n\in \IN_0
[/mm]
Grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:54 Di 31.05.2011 | | Autor: | felixf |
Moin Al,
> von welcher Definition von [mm]\IN[/mm] der Aufgabensteller ausge-
> gangen ist, wissen wir ja gar nicht.
aus dieser Mitteilung hatte ich das geschlossen. Allerdings gab es dann noch einen Tippfehler laut dieser Mitteilung.
> Die Behauptung, dass es zu gegebenen [mm]a,b\in\IN[/mm] höchstens
> eine Primzahl der Form [mm]\ p=a*n+b[/mm] gibt, falls
> [mm]ggT(a,b)\not=1[/mm] ,
> ist jedenfalls in beiden Fällen richtig.
Ja, das auf jeden Fall.
LG Felix
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