Primzahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:09 Mo 28.11.2005 | | Autor: | Binu |
Hallo an alle!
Ich komme bei Primzahl - Aufgaben alleine einfach nicht weiter und ich hoffe, dass ihr mir helfen könnt.
25) Bestimmen Sie alle natürlichen Zahlen a, b, für die [mm] a^{3} [/mm] + [mm] b^{3} [/mm] eine Primzahl ist. Begründen Sie ihre Antwort.
Ansatz: Meine durch ausprobieren herausgefunden zu haben, dass diese Gleichung nur für die beiden Zahlen a,b, = 1 gilt - Ergebnis ist dann die Primzahl 2, aber wie kann ich das zeigen bzw. begründen?
26) Sei p eine von 2 verschiedene Primzahl. Beweisen Sie, dass 24 ein Teiler von [mm] p^{3}-p [/mm] ist.
Ansatz: Habe mir [mm] p^{3}-p [/mm] schon einmal einfacher aufgeschrieben als:
(p-1)*p*(p+1). Also müsste ja gelten 24\ (p-1)*p*(p+1). Kann ich für p irgendetwas bestimmtes einsetzen, um den Beweis zu führen?
Vielen lieben Dank..
|
|
| |
|
Hi,
ich hab mich mal mit der Aufgabe 26 beschäftigt... zuerst kannst du sagen, für [mm] p\ge [/mm] 5 reduziert sich die Frage auf 24 teilt (p-1)(p+1), da die Primfaktorzerlegung von [mm] 24=2^{3}3 [/mm] ist und demnach p nicht mehr geteilt werden kann, da ja Primzahl. Für kleineres p, also für p=3 gilt es ja...
So, p-1 ist gerade, genauso wie p+1, also insgesamt ist das Produkt schonmal durch 4 teilbar. Betrachtet man die ganzen Zahlen [mm] \bruch{p+1}{2} [/mm] und [mm] \bruch{p-1}{2} [/mm] so stellt man fest, dass für alle [mm] p\ge [/mm] 5 eine durch drei und eine durch 2 teilbare Zahl herauskommt oder eine der beiden Zahlen durch 6 teilbar ist, so dass die Behauptung stimmt.
Das gilt es halt noch zu beweisen... 
weiß nicht, ob das hilft, aber immerhin...
Gruß, Spellbinder
|
|
|
|
