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Hallo,
Ich habe Probleme bei diesen beide Aufgaben:
4. Sei p [mm] \ge [/mm] 5 prim. Zeigen Sie, dass [mm] p^{2} [/mm] − 1 durch 24 teilbar ist.
Das stimmt zwar ,aber wie soll ich das beweisen!
5. Wenn n keine Primzahl ist, dann ist auch [mm] 2^{n} [/mm] − 1 keine Primzahl.
Hinweis: Sei n = t · m. Betrachten Sie die geometrische Reihe [mm] \summe_{k=0}^{m-1} (2^{t})^k [/mm] ( ^k =hoch k  )
Da weiss ich auch nicht wie ich da anfangen soll.
Ich würde mich freuen, wenn mir jemand helfen würde.
Gruß Peter
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:34 Mo 27.12.2004 | | Autor: | andreas |
hi
also hier mal ein ansatz zur ersten der beiden aufgaben, der aber nicht sonderlich elegant ist und ich mir nichtmal ganz sicher bin, ob man so überhaupt argumentieren darf (also wenn es einwände gibt, her damit):
da [m] p \geq 5 [/m] prim muss gelten
[m] p \equiv 1 \mod 8 \; \vee \; p \equiv 3 \mod 8 \; \vee \; p \equiv 5 \mod 8 \; \vee \; p \equiv 7 \mod 8 [/m]
(sonst würde gelten [m] 2 | p [/m]). daraus erhält man dann [m] p^2 \equiv 1 \mod 8 [/m], also [m] p^2 - 1 \equiv 0 \mod 8 [/m] andererseits gilt
[m] p \equiv 1 \mod 3 \; \vee \; p \equiv 2 \mod 3 [/m],
da [m] 3 \not | \; p [/m] und damit [m] p^2 \equiv 1 \mod 3 [/m], also [m] p^2 - 1 \equiv 0 \mod 3 [/m]. dann gilt aber nach dem chinesischen restsatz - da [m] 24 = 2^3 \cdot 3 [/m], dass
[m] p^2 - 1 \equiv 0 \mod 24 [/m]
bei 5 kann man mit dem tipp recht viel anfangen, es ist nämlich
[m] \mathbb{N} \ni \sum_{k=0}^{m-1} (2^t)^k = \frac{2^{t \cdot m} - 1}{2^t - 1} [/m]
wie kann man nun daraus erkennen, dass [m] 2^n -1 [/m] einen nicht-trivaialen teiler hat, falls die natürliche zahl [m] t \not\in \{1, n \} [/m]?
wir helfen dir dann weiter, falls noch probleme auftreten sollten.
grüße
andreas
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Hallo,
erstmal möchte ich mich für deine Hilde bedanken.
Ich verstehe nicht genau warum du bei der Aufg.4 "mod8" machst.
Ist das frei wählbar (könnte man auch mod 7 machen) oder muss das immer modulo 8 sein??
danke
Ich wünsche dir einen guten Rutsch
Gruß Peter> hi
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> also hier mal ein ansatz zur ersten der beiden aufgaben,
> der aber nicht sonderlich elegant ist und ich mir nichtmal
> ganz sicher bin, ob man so überhaupt argumentieren darf
> (also wenn es einwände gibt, her damit):
>
> da [m]p \geq 5[/m] prim muss gelten
>
> [m]p \equiv 1 \mod 8 \; \vee \; p \equiv 3 \mod 8 \; \vee \; p \equiv 5 \mod 8 \; \vee \; p \equiv 7 \mod 8[/m]
>
> (sonst würde gelten [m]2 | p [/m]). daraus erhält man dann [m]p^2 \equiv 1 \mod 8 [/m],
> also [m]p^2 - 1 \equiv 0 \mod 8[/m] andererseits gilt
>
> [m]p \equiv 1 \mod 3 \; \vee \; p \equiv 2 \mod 3 [/m],
> da [m]3 \not | \; p[/m] und damit [m]p^2 \equiv 1 \mod 3 [/m], also [m]p^2 - 1 \equiv 0 \mod 3 [/m].
> dann gilt aber nach dem chinesischen restsatz - da [m]24 = 2^3 \cdot 3 [/m],
> dass
>
> [m]p^2 - 1 \equiv 0 \mod 24[/m]
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>
> bei 5 kann man mit dem tipp recht viel anfangen, es ist
> nämlich
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> [m]\mathbb{N} \ni \sum_{k=0}^{m-1} (2^t)^k = \frac{2^{t \cdot m} - 1}{2^t - 1}[/m]
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> wie kann man nun daraus erkennen, dass [m]2^n -1[/m] einen
> nicht-trivaialen teiler hat, falls die natürliche zahl [m]t \not\in \{1, n \} [/m]?
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> wir helfen dir dann weiter, falls noch probleme auftreten
> sollten.
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>
> grüße
> andreas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:25 Mi 29.12.2004 | | Autor: | andreas |
hi
ich rechen da [mm] $\mod [/mm] 8$, da $24 = 8 [mm] \cdot [/mm] 3 = [mm] 2^3 \cdot [/mm] 3$ und wenn man den chinesischen restsatz anwenden will muss man immer modulo der auftretenden maximalen primzahlpotenzen rechnen (ist dir dieser satz bekannt?).
in der zwischenzeit habe ich einen eigentlich viel elementarern ansatz gefunden. es gilt [m] p^2 - 1 = (p-1)(p+1)[/m] wobei dies eine zerlegung in zwei gerade zahlen ist, wovon eine sogar durch $4$ teilbar ist und somit das produkt durch $8$ teilbar ist. andererseits ist $p-1$ oder $p+1$ durch $3$ teilbar, woraus folgt, dass [mm] $p^2 [/mm] - 1$ durch [mm] $3\cdot8 [/mm] = 24$ teilbar ist.
dies ist eigentlich genau das selbe argument nur wird keine reduktion benutzt. vielleicht wird hierran auch klarer, warum man sich für $8$ und für $3$ interessiert.
es fehlen hier vielleicht noch ein paar argumente. du kannst ja mal versuchen diese selbst zu finden, wenn du noch irgendwo hängst frage einfach nochmal nach.
grüße
andreas
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Hallo,
erstmal wünsche ich dir ein gutes neues Jahr.
Jetzt zur Mathematik:
danke, jetzt verstehe ich warum du modulo 8 machst.
Gruß Peter
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