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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:44 Di 18.03.2008 | | Autor: | Pacapear |
| Aufgabe | Man beweise, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.
Tipp:
Man nehme an, dass es nur die Primzahlen [mm] p_1,...,p_n [/mm] gebe und betrachte die Zahl [mm] p_1*p_2*...*p_n+1. [/mm] |
Hallo.
Ich habe zu dieser Aufgabe eine Lösung, die ich nicht verstehe:
Lösung
Annahme:
Es gibt nur endlich viele Primzahlen [mm] p_1,...,p_n.
[/mm]
Betrachte die Zahl [mm] p_1*p_2*...*p_n+1.
[/mm]
z ist durch kein [mm] p_i [/mm] teilbar, i=1,...,n.
Entweder z ist eine Primzahl, oder z besitzt einen Primteiler p.
Aber [mm] p\not=p_i, [/mm] i=1,...,n.
[mm] \Rightarrow [/mm] Es gibt eine weitere Primzahl [mm] \not=p_i, [/mm] i=1,...,n.
Also gibt es unendlich viele Primzahlen.
Fragen
Zu dieser Lösung habe ich ein paar Fragen.
Zunächst mal denke ich, dass z die vorgegebene Zahl [mm] p_1*p_2*...*p_n+1 [/mm] ist.
1) Wieso gerade diese Zahl [mm] p_1*p_2*...*p_n+1? [/mm] Was sagt sie mir?
2) Woher weiß ich, dass z durch kein [mm] p_i [/mm] (i=1,...,n) teilbar ist?
Ich hoffe, dass mir jemand meine Fragen beantworten kann 
Nadine
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> Lösung
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> Annahme:
> Es gibt nur endlich viele Primzahlen [mm]p_1,...,p_n.[/mm]
>
> Betrachte die Zahl [mm]p_1*p_2*...*p_n+1.[/mm]
> z ist durch kein [mm]p_i[/mm] teilbar, i=1,...,n.
> Entweder z ist eine Primzahl, oder z besitzt einen
> Primteiler p.
> Aber [mm]p\not=p_i,[/mm] i=1,...,n.
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] Es gibt eine weitere Primzahl [mm]\not=p_i,[/mm]
> i=1,...,n.
> Also gibt es unendlich viele Primzahlen.
>
>
>
> Fragen
>
> Zu dieser Lösung habe ich ein paar Fragen.
> Zunächst mal denke ich, dass z die vorgegebene Zahl
> [mm]p_1*p_2*...*p_n+1[/mm] ist.
>
> 1) Wieso gerade diese Zahl [mm]p_1*p_2*...*p_n+1?[/mm] Was sagt sie
> mir?
Hallo,
diese Zahl hat einen Riesenvorteil: man kann den Beweis mit ihr führen...
> 2) Woher weiß ich, dass z durch kein [mm]p_i[/mm] (i=1,...,n)
> teilbar ist?
z ist ja die Zahl, die entsteht, indem ich alle Primzahlen, von denen ich annehme, daß es nur endlich viele sind, miteinander multipliziere und 1 addiere.
Angenommen, es wäre [mm] p_1 [/mm] Teiler von [mm] p_1*p_2*...*p_n+1. [/mm] Dann gäbe es ein n [mm] \in \IN [/mm] mit
[mm] p_1*p_2*...*p_n+1=n*p_1. [/mm] Überlege Dir, warum das ein Widerspruch ist. (Bring 1 auf eine Seite und klammere auf der anderen [mm] p_1 [/mm] aus.)
Entsprechend gilt das für jede Primzahl [mm] p_k.
[/mm]
Also ist [mm] p_1*p_2*...*p_n+1 [/mm] durch keine der Primzahlen [mm] p_1, [/mm] ..., [mm] p_n [/mm] teilbar. Dann muß [mm] p_1*p_2*...*p_n+1 [/mm] selbst eine Primzahl sein.
Offensichtlich ist [mm] p_1*p_2*...*p_n+1 [/mm] von [mm] p_1, [/mm] ..., [mm] p_n [/mm] verschieden, also ist das eine neue Primzahl, im Widerspruch dazu, daß die Menge [mm] \{p_1, ..., p_n\} [/mm] sämtliche Primzahlen umfaßt.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:56 Mi 19.03.2008 | | Autor: | Pacapear |
Hallo.
> Angenommen, es wäre [mm]p_1[/mm] Teiler von [mm]p_1*p_2*...*p_n+1.[/mm] Dann gäbe es ein n [mm]\in \IN[/mm] mit [mm]p_1*p_2*...*p_n+1=n*p_1.[/mm]
> Überlege Dir, warum das ein Widerspruch ist. (Bring 1 auf eine Seite und klammere auf der anderen [mm]p_1[/mm] aus.)
Also ich habe jetzt mal umgestellt, wie du es vorgeschlagen hast:
[mm] p_1*p_2*...*p_n+1=n*p_1
[/mm]
[mm] p_1*p_2*...*p_n=-1+n*p_1
[/mm]
[mm] p_1*p_2*...*p_n-n*p_1=-1
[/mm]
[mm] p_1*(p_2*...*p_n-n)=-1
[/mm]
Ist das nun eine falsch Aussage?
Ich habe mir überlegt, dass es eine falsche Aussage sein könnte, weil:
Auf der linken Seite stehen nur positive Zahlen (Primzahlen sind immer positiv und n ist eine natürliche Zahl).
Nun muss ich gucken was passiert, falls n größer, gleich oder kleiner dem Produkt [mm] p_2*...*p_n [/mm] ist.
Ist n kleiner, so steht in der Klammer eine positive Zahl (denn das Produkt von Primzahlen ist ja auch positiv) und somit multipliziere ich eine positive Zahl mit einer Primzahl. Das Ergebnis muss also auch positiv sein, und kann keinesfalls gleich -1 sein.
Ist n gleich dem Produkt, so steht in der Klammer eine 0, und Primzahl multipliziert mit 0 ergibt eine 0 und keine -1.
Ist n größer, so steht in der Klammer eine negative Zahl, welche dann eine negative natürliche Zahl ist. Diese multipliziert mit einer Primzahl kann aber nicht -1 ergeben. Das einzige Produkt, mit dem ich -1 erhalten könnte, wäre, wenn [mm] p_2*...*p_n-n [/mm] genau der negative Kehrwert (also ein Bruch) von [mm] p_1 [/mm] wäre. Das geht aber nicht, weil ich ja gerade überlegt habe, dass [mm] p_2*...*p_n-n [/mm] eine negative natürliche Zahl ist.
Also kann diese Gleichung niemals erfüllt werden.
Damit kann [mm] p_1 [/mm] kein Teiler sein.
Sind meine Überlegungen richtig?
Nadine
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:38 Mi 19.03.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Deine Überlegungen sind zu kompliziert!
fangen wir ums zu vereinfachen mit den ersten Primzahlen an:2 und 3
2*3+1 lässt bei Division durch 2 und durch 3 garantiert den Rest 1!
D.h. mit 2*3+1 hab ich ne neue Primzahl gefunden, die größer als 2 und 3 ist
(dies hier ist zwar ne Primzahl, 7, es könnte aber theoretisch noch durch ne kleinere Primzahl tb sein)
weiter: 2*3*5+1 lässt bei Division durch 2,3,5 jeweils den Rest 1, also ist 31 ne Primzahl oder nur durch ne größere als 2,3,5 tb
2*3*5*7+1=211 Rede Wie oben
Auch 2*3*5*7*11*13+1=30031 lässt bei Division durch 2,3,5,7,11,13 den Rest 1 ist also durch die nicht telbar, allerdings doch durch die größere Primzahl 59
30031=59*509
Also p1*p2*....pn +1 lässt bei Division durch p1,p2,....pn den Rest 1, also ist es selbst ne Primzahl, oder wird nur von ner Primzahl geteilt, die nicht unter den n ersten ist.
Gruss leduart
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