Primzahlen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:37 Sa 22.01.2005 | | Autor: | squeezer |
Hallo
Ich hab folgende Aufgabe zu beweisen, und ich weiss dass das Ganze gehen muss, aber ich find trotzdem immer ein Gegenbeispiel wo es nicht geht, deshalb frage ich mich was ich an der ganzen Sache falsch mache.
Ich geb euch zuerst mal die Angabe:
Sei p [mm] \in \IZ, [/mm] p > 1.
Zeigen Sie:
Hat p die Eigenschaft: "Aus p|(a*b) mit a,b [mm] \in \IZ [/mm] folgt p|a oder p|b",
das heist Für alle a, b [mm] \in \IZ [/mm] ( p|(a*b) [mm] \Rightarrow [/mm] (p|a oder p |b))
dann ist p eine Primzahl
Ich habe mir nun folgendes überlegt:
Gegenbeispiel: a = 3, b = 4, p = 4
4 | (3*4) und (4| 4 oder 4 | 3)
ist eine wahre Aussage und trotzdem ist p=4 keine Primzahl!
Wie kann man die Aufgabe da genau angehenm bzw was mach ich da falsch. Kann mir jemand sagen wie ich das im Allgemeinen beweisen kann.
Vielen Dank für Eure Hilfe, bin wirklich aufgeschmissen...
MfG
Marc
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:46 Sa 22.01.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi squeezer,
wichtig bei der Aufgabe ist das "für alle a,b aus Z"
du hast zwar spezielle a und b gefunden, aber p=4 teilt auch 2*2 (also a=b=2) jedoch nicht 2, deshalb ist p=4 keine primzahl.
bei dem allgemeinen Beweis müsste ich jetzt erstmal erfahren, wie eure Definition von "Primzahl" lautet, denn ich kenne die, die du beweisen sollst.
viele grüße
DaMenge
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:03 Sa 22.01.2005 | | Autor: | squeezer |
Hallo
Also unsere Definiton von Primzahl(en) lautet folgendermassen:
Eine Primzahl ist eine positive ganze Zahl p, die genau zwei positive Teiler besitzt, dh 1 und p sind die einzigen Teiler von p.
Ich weiss nicht genau ob die Def. dir was nützt weil die allgemein ist. Zudem haben wir auch noch so was aufgeschrieben dass man jede Zahl als Produkt von Primzahlen darstellen kann also was wie:
x = [mm] \varepsilon*a_{1}*a_{2}* \ldots*a_{n} [/mm] mit [mm] \varepsilon [/mm] = {-1, 1}
und a jeweils Primzahl.
danke
Marc
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:16 Sa 22.01.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hallo Marc,
kannst du das nächste Mal diese Art von Informationen bitte als "Mitteilung" dazu schreiben?
Dies ist ja eigentlich keien Frage.
viele Grüße
DaMenge
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:14 Sa 22.01.2005 | | Autor: | DaMenge |
ohh, ok - mit der Präzisierung geht es dann relativ einfach!
Also du musst nur eine Richtung zeigen ! denn da steht nicht "genau dann wenn"
also Beweis durch Widerspruch:
p habe die angegebene Eigenschaft und angenommen p sei keine Primzahl, d.h. es existieren positive Teiler s und t, die beide nicht 1 oder p sind , so dass p=s*t
daraus folgt aber 1<s<p und 1<t<p
(echte Kleinerzeichen)
weiterhin gilt: p|(s*t)
aber es gilt nicht : p|s oder p|t wegen obigen Relationen.
Dies ist aber ein Widerspruch zur Vorraussetzung, dass p die genannte Eigenschaft FÜR ALLE a und b erfüllt.
Ich hoffe, dir ist klar, was ich meine
viele Grüße
DaMenge
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