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| Aufgabe | Es sei [mm] n\in \IN. [/mm] Zeige:
a) Es gibt n aufeinanderfolgende natürliche Zahlen, die keine Primzahlen sind.
b) Ist [mm] n\ge [/mm] 3, so liegt zwischen n und n! stets eine Primzahl. |
Hi,
fangen wir mal mit der a) an. Ich weiß nicht, ob ich die Aufgabe richtig verstehe. Ich addiere aber zuerst einmal die natürlichen Zahlen:
1+2 = 3 = Prim
1+2+3 = 5 = Prim
1+2+3+4 = 10 = nicht Prim
1+2+3+4+5 = 15 = nicht Prim
Ist die Aufgabe so gemeint?? Hieraus würde man ja schließen, dass eigentlich nur für n=3, mit [mm] n\le [/mm] 3, man Primzahlen findet, oder???
Grüße
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Hallo Steve,
> Ist die Aufgabe so gemeint??
nein!
Die Aufgabe a) ist wie folgt gemeint:
Ich gebe dir eine beliebige natürliche Zahl n und du sollst mir eine ![[]](/images/popup.gif) "Primzahllücke" mit (mindestens) dieser Größe nennen.
Bis n=5 geht das bspw noch recht fix, als einführende Beispiele:
n=1: trivial
n=3: 8,9,10
n=5: 24,25,26,27,28
Du sollst nun zeigen, dass es solche aufeinanderfolgende natürlichen Zahlen auch für $n=100$ oder [mm] $n=10^{23}$ [/mm] gibt.
Für die b) schau dir mal den Satz von Euklid an.
MFG,
Gono.
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hi,
ok. dann hatte ich die aufgabe erstmal falsch verstanden.
> Du sollst nun zeigen, dass es solche aufeinanderfolgende natürlichen Zahlen auch für n=100 oder $ [mm] n=10^{23} [/mm] $ gibt.
Und wie kann ich das jetzt zeigen?? Muss man da vielleicht zuerst irgendeine Formel aufstellen, und die dann über Induktion beweisen? oder wie??
Ich habe gerade im Netz noch folgendes gefunden:
http://matheplanet.com/default3.html?article=92
ich finde in der Erklärung nur bisschen etwas komisch. Woher weiß ich, dass alle Zahlen n! durch 2, durch 3, durch 4, etc. teilbar sind??
Nehme ich z.B. n=2, dann habe ich 2!+2=4. So jetzt ist doch aber 4 nicht durch 3 teilbar, und auch nicht 6, usw.
oder verstehe ich gerade wieder was falsch??
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Hallo Steve,
ja, da scheinst Du wieder etwas falsch zu verstehen.
Wenn Du eine Zahl x hast, von der Du weißt, dass sie durch a,b und c teilbar ist, dann weißt Du auch: a|x+a, b|x+b, c|x+c. Und damit weißt Du, dass x+a, x+b und x+c keine Primzahlen sein können.
Grüße
reverend
PS: Für eine Primzahllücke der Länge n würde als Startpunkt allerdings auch kgV(2...n+1)+2 genügen, aber schöner zu schreiben und zu lesen ist eben die Fakultätsschreibweise.
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Ja aber guck mal,
wir haben ja gesehen, dass es eine Lücke der Länge 3gibt.
Also ist n=3 möglich.
So jetzt ist aber doch 3!=6
So, muss jetzt nicht aber 6 durch 2, durch 3, durch 4, durch 5 etc. teilbar sein???
Sagt das dieser beweis nicht??
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Hallo nochmal,
nein, das sagt dieser Beweis nicht. Lies gründlich.
> wir haben ja gesehen, dass es eine Lücke der Länge
> 3gibt.
>
> Also ist n=3 möglich.
>
> So jetzt ist aber doch 3!=6
Um eine Lücke der Länge n zu garantieren, muss man von (n+1)! ausgehen, nicht von n!; wir wissen nämlich nichts über n!+1, das könnte auch prim sein (und ist es z.B. für n=2,3,11,27).
> So, muss jetzt nicht aber 6 durch 2, durch 3, durch 4,
> durch 5 etc. teilbar sein???
>
> Sagt das dieser beweis nicht??
Nein, das hat niemand behauptet. Nur, dass 3!+2 durch 2 teilbar ist (und daher nicht prim), und dass 3!+3 durch 3 teilbar ist (und daher nicht prim).
Grüße
reverend
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Ok,
das habe ich jetzt doch verstanden.
habt ihr vielleicht noch ein paar tipps für die b)?? Außer nur euklid?? damit komme ich gerade nicht weiter....
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Huhu,
> habt ihr vielleicht noch ein paar tipps für die b)??
> Außer nur euklid?? damit komme ich gerade nicht weiter....
Was sagt Euklid denn aus????
Das ist doch nun wirklich nur hinschreiben.....
MFG,
Gono.
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