Primzahlen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeige, dass die Zahlen [mm] H_{n}=1+ \bruch{1}{2}+...+\bruch{1}{n} [/mm] nie ganz sind (n>1), die Primteiler des Nenners sind Primzahlen [mm] \le [/mm] n. Stecken alle solchen Primzahlen im Nenner? |
Hallöchen,
wie der Betreff schon andeutet Tippe ich bei der Aufgabe völlig im Dunkeln. Ich finde nicht den geringsten Ansatz. Kann mir jemand nen kleinen Tipp geben in welche Richtung ich denken muss?
Dass die Zahlen nicht ganz sein können sieht man ja irgendwie aber mir will es nicht recht gelingen das zu beweisen. Kann mir jemand helfen?
LG Schmetterfee
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:30 Do 20.10.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
hast du mal mit n bis etwa 20 experimentiert, sollte man immer, wenn man sehr hilflos ist! Was hast du dabei bisher rausgefunden?
Gruss leduart
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:49 Do 20.10.2011 | | Autor: | Schmetterfee |
Hallöchen,
ich habe nicht wirklich was rausgefunden was mich meiner Meinung nach weiterbringt außer das ich immer eine gewisse Anzahl an Summanden zusammen fassen kann, so dass sie [mm] \ge \bruch{1}{2} [/mm] aber das bringt mich ja nun nicht wirklich weiter. Meinst du denn sowas in der Art mit aufallen?
LG Schmetterfee
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:14 Do 20.10.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Zeige, dass die Zahlen [mm]H_{n}=1+ \bruch{1}{2}+...+\bruch{1}{n}[/mm]
> nie ganz sind (n>1), die Primteiler des Nenners sind
> Primzahlen [mm]\le[/mm] n. Stecken alle solchen Primzahlen im
> Nenner?
>
> wie der Betreff schon andeutet Tippe ich bei der Aufgabe
> völlig im Dunkeln. Ich finde nicht den geringsten Ansatz.
> Kann mir jemand nen kleinen Tipp geben in welche Richtung
> ich denken muss?
Bezueglich Teil 2: gib eine Zahl an, mit der du [mm] $H_n$ [/mm] multiplizieren kannst dass es eine ganze Zahl wird. Und zwar eine, deren Primfaktoren alle [mm] $\le [/mm] n$ sind. Das ist sehr einfach.
Zu Teil 1 [mm] ($H_n \not\in \IZ$) [/mm] gab's hier schon mehr als eine Frage im Forum. Ausserdem: probier doch mal herum, wie leduart dir das empfohlen hast. Dann siehst du, dass eine bestimmte Primzahl immer im Nenner von [mm] $H_n$ [/mm] ($n > 1$) auftaucht. Versuche doch mal zu beweisen, dass sie wirklich immer da ist.
LG Felix
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Hallöchen,
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> > Zeige, dass die Zahlen [mm]H_{n}=1+ \bruch{1}{2}+...+\bruch{1}{n}[/mm]
> > nie ganz sind (n>1), die Primteiler des Nenners sind
> > Primzahlen [mm]\le[/mm] n. Stecken alle solchen Primzahlen im
> > Nenner?
> >
> > wie der Betreff schon andeutet Tippe ich bei der Aufgabe
> > völlig im Dunkeln. Ich finde nicht den geringsten Ansatz.
> > Kann mir jemand nen kleinen Tipp geben in welche Richtung
> > ich denken muss?
>
> Bezueglich Teil 2: gib eine Zahl an, mit der du [mm]H_n[/mm]
> multiplizieren kannst dass es eine ganze Zahl wird. Und
> zwar eine, deren Primfaktoren alle [mm]\le n[/mm] sind. Das ist sehr
> einfach.
>
ist das nicht einfach nur n!?
> Zu Teil 1 ([mm]H_n \not\in \IZ[/mm]) gab's hier schon mehr als eine
> Frage im Forum. Ausserdem: probier doch mal herum, wie
> leduart dir das empfohlen hast. Dann siehst du, dass eine
> bestimmte Primzahl immer im Nenner von [mm]H_n[/mm] ([mm]n > 1[/mm])
> auftaucht. Versuche doch mal zu beweisen, dass sie wirklich
> immer da ist.
>
Ich habe im Forum bisher leider keine Frage zu meiner Thematik gefunden...
Naja in jedem Nenner ist immer die 2 enthalten... aber ganz ehrlich weiß ich immer noch nicht wie ich das geforderte zeigen soll bzw. wie? Kann mir bitte noch jemand helfen?
LG Schmetterfee
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Hallo,
> Ich habe im Forum bisher leider keine Frage zu meiner
> Thematik gefunden...
> Naja in jedem Nenner ist immer die 2 enthalten... aber
> ganz ehrlich weiß ich immer noch nicht wie ich das
> geforderte zeigen soll bzw. wie? Kann mir bitte noch jemand helfen?
Versuche z. B. einen Beweis über Induktion. Du brauchst dafür keine genaue Formel für [mm] H_n, [/mm] sondern lediglich die Kenntnis, dass sich [mm] H_n [/mm] darstellen lässt als [mm] H_n=\frac{2p+1}{2q} [/mm] mit [mm] p,q\in\IN [/mm] (das ist, der Nenner ist durch zwei teilbar). Zeige im Induktionsschritt, dass auch der Nenner von [mm] H_{n+1} [/mm] durch 2 teilbar ist - eine Fallunterscheidung könnte hilfreich sein.
LG
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Hallöchen
>
> Versuche z. B. einen Beweis über Induktion. Du brauchst
> dafür keine genaue Formel für [mm]H_n,[/mm] sondern lediglich die
> Kenntnis, dass sich [mm]H_n[/mm] darstellen lässt als
> [mm]H_n=\frac{2p+1}{2q}[/mm] mit [mm]p,q\in\IN[/mm] (das ist, der Nenner ist
> durch zwei teilbar). Zeige im Induktionsschritt, dass auch
> der Nenner von [mm]H_{n+1}[/mm] durch 2 teilbar ist - eine
> Fallunterscheidung könnte hilfreich sein.
>
Ich habe jetzt versucht eine Induktion zu machen und erhalte:
IA. n=2 [mm] H_{2}=1+ \bruch{1}{2}= \bruch{3}{2} [/mm] = [mm] \bruch{2*1+1}{2*1}
[/mm]
Im Induktionschritt habe ich ja nun:
[mm] H_{n+1}=1+ \bruch{1}{2}+...+ \bruch{1}{n+1}= H_{n}+ \bruch{1}{n+1}
[/mm]
= [mm] \bruch{2p+1}{2q} +\bruch{1}{n+1}
[/mm]
= [mm] \bruch{(2p+1)(n+1)+2q}{(2q)(n+1)}
[/mm]
Würde es denn reichen wenn ich an dieser Stelle argumentiere für den Fall n+1 gerade bzw n+1 ungerade? Oder ist die Induktion so nicht brauchbar und muss ich das irgendwie über p oder q laufen lassen? Bin noch ein bisschen ratlos.
LG Schmetterfee
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:57 Sa 22.10.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > Versuche z. B. einen Beweis über Induktion. Du brauchst
> > dafür keine genaue Formel für [mm]H_n,[/mm] sondern lediglich die
> > Kenntnis, dass sich [mm]H_n[/mm] darstellen lässt als
> > [mm]H_n=\frac{2p+1}{2q}[/mm] mit [mm]p,q\in\IN[/mm] (das ist, der Nenner ist
> > durch zwei teilbar). Zeige im Induktionsschritt, dass auch
> > der Nenner von [mm]H_{n+1}[/mm] durch 2 teilbar ist - eine
> > Fallunterscheidung könnte hilfreich sein.
> >
> Ich habe jetzt versucht eine Induktion zu machen und
> erhalte:
>
> IA. n=2 [mm]H_{2}=1+ \bruch{1}{2}= \bruch{3}{2}[/mm] =
> [mm]\bruch{2*1+1}{2*1}[/mm]
>
> Im Induktionschritt habe ich ja nun:
> [mm]H_{n+1}=1+ \bruch{1}{2}+...+ \bruch{1}{n+1}= H_{n}+ \bruch{1}{n+1}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{2p+1}{2q} +\bruch{1}{n+1}[/mm]
> =
> [mm]\bruch{(2p+1)(n+1)+2q}{(2q)(n+1)}[/mm]
> Würde es denn reichen wenn ich an dieser Stelle
> argumentiere für den Fall n+1 gerade bzw n+1 ungerade?
Ja.
Allerdings wirst du im Fall $n + 1$ gerade nicht wirklich weiterkommen. Ich glaube, dieser Beweisansatz fuehrt nicht zum Ziel.
Wenn du dir Beispiele angeschaut hast, wirst du gesehen haben dass im Nenner von [mm] $H_n$ [/mm] jeweils immer die groesste Primzahl $p [mm] \le [/mm] n$ vorkommt. Versuch das doch mal zu beweisen.
(Dieser Ansatz funktioniert, und kam hier auch schon im Forum vor.)
LG Felix
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Hallöchen
>
> Allerdings wirst du im Fall [mm]n + 1[/mm] gerade nicht wirklich
> weiterkommen. Ich glaube, dieser Beweisansatz fuehrt nicht
> zum Ziel.
>
Schade
> Wenn du dir Beispiele angeschaut hast, wirst du gesehen
> haben dass im Nenner von [mm]H_n[/mm] jeweils immer die groesste
> Primzahl [mm]p \le n[/mm] vorkommt. Versuch das doch mal zu
> beweisen.
>
Das gelingt mir aber irgendwie nicht recht.
Ich habe es jetzt schon versucht umzuformen und zu kürzen bin aber auch nicht weiter gekommen. Habe lediglich:
[mm] H_{n}=1+ \bruch{1}{2}+...+ \bruch{1}{n}
[/mm]
= (n!+ [mm] \bruch{n!}{2}+...+ \bruch{n!}{n}) \bruch{1}{n!}
[/mm]
aber irgendiwe komme ich hier dann auch nicht wirklich weiter.
Hat noch jemand irgend nen Tipp die Aufgabe lässt mich leider verzweifeln.
LG Schmetterfee
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:03 Sa 22.10.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > Wenn du dir Beispiele angeschaut hast, wirst du gesehen
> > haben dass im Nenner von [mm]H_n[/mm] jeweils immer die groesste
> > Primzahl [mm]p \le n[/mm] vorkommt. Versuch das doch mal zu
> > beweisen.
> >
> Das gelingt mir aber irgendwie nicht recht.
>
> Ich habe es jetzt schon versucht umzuformen und zu kürzen
> bin aber auch nicht weiter gekommen. Habe lediglich:
>
> [mm]H_{n}=1+ \bruch{1}{2}+...+ \bruch{1}{n}[/mm]
> = (n!+
> [mm]\bruch{n!}{2}+...+ \bruch{n!}{n}) \bruch{1}{n!}[/mm]
Sei $p$ die groesste Primzahl, die [mm] $\le [/mm] n$ ist. Wie oft teilt $p$ den Nenner? Und welche Summanden des Zaehlers werden von $p$ geteilt und welche nicht? Ueberleg dir das mal.
LG Felix
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Hallöchen
>
> > > Wenn du dir Beispiele angeschaut hast, wirst du gesehen
> > > haben dass im Nenner von [mm]H_n[/mm] jeweils immer die groesste
> > > Primzahl [mm]p \le n[/mm] vorkommt. Versuch das doch mal zu
> > > beweisen.
> > >
> > Das gelingt mir aber irgendwie nicht recht.
> >
> > Ich habe es jetzt schon versucht umzuformen und zu kürzen
> > bin aber auch nicht weiter gekommen. Habe lediglich:
> >
> > [mm]H_{n}=1+ \bruch{1}{2}+...+ \bruch{1}{n}[/mm]
> > = (n!+
> > [mm]\bruch{n!}{2}+...+ \bruch{n!}{n}) \bruch{1}{n!}[/mm]
>
> Sei [mm]p[/mm] die groesste Primzahl, die [mm]\le n[/mm] ist. Wie oft teilt [mm]p[/mm]
> den Nenner? Und welche Summanden des Zaehlers werden von [mm]p[/mm]
> geteilt und welche nicht? Ueberleg dir das mal.
>
Naja p teilt den Nenner 1 mal, weil es ja nur geringfügig kleiner als n ist nach den beobachtungen. p teilt doch alle Summanden des Zählers von [mm] \bruch{n!}{p},...,\bruch{n!}{n!} [/mm] und alle anderen nicht. Ich verstehe aber nicht ganz wie mir das weiter hilft. Leider. Ziemlich deprimierend :-(
LG Schmetterfee
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:31 Sa 22.10.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > > > Wenn du dir Beispiele angeschaut hast, wirst du gesehen
> > > > haben dass im Nenner von [mm]H_n[/mm] jeweils immer die groesste
> > > > Primzahl [mm]p \le n[/mm] vorkommt. Versuch das doch mal zu
> > > > beweisen.
> > > >
> > > Das gelingt mir aber irgendwie nicht recht.
> > >
> > > Ich habe es jetzt schon versucht umzuformen und zu kürzen
> > > bin aber auch nicht weiter gekommen. Habe lediglich:
> > >
> > > [mm]H_{n}=1+ \bruch{1}{2}+...+ \bruch{1}{n}[/mm]
> > > = (n!+
> > > [mm]\bruch{n!}{2}+...+ \bruch{n!}{n}) \bruch{1}{n!}[/mm]
> >
> > Sei [mm]p[/mm] die groesste Primzahl, die [mm]\le n[/mm] ist. Wie oft teilt [mm]p[/mm]
> > den Nenner? Und welche Summanden des Zaehlers werden von [mm]p[/mm]
> > geteilt und welche nicht? Ueberleg dir das mal.
> >
> Naja p teilt den Nenner 1 mal, weil es ja nur geringfügig
> kleiner als n ist nach den beobachtungen.
Es teilt den Nenner genau einmal, du musst das aber noch richtig begruenden. Eine Primzahl teilt doch ein Produkt genau dann, wenn es mindestens einen der Faktoren teilt.
Du musst also zeigen: in den $n$ Faktoren von $n! = 1 [mm] \cdot [/mm] 2 [mm] \cdot [/mm] 3 [mm] \cdots [/mm] (n-1) [mm] \cdot [/mm] n$ kommt genau einer vor, der von $p$ geteilt wird, und dieser wird genau einmal von $p$ geteilt.
> p teilt doch alle
> Summanden des Zählers von [mm]\bruch{n!}{p},...,\bruch{n!}{n!}[/mm]
> und alle anderen nicht.
Nein, das stimmt nicht. Wie bist du dadrauf gekommen?
Schreib das doch mal fuer $n = 6$ konkret auf. Dann ist $p = 5$. Wie sehen die Summanden aus? Welche davon sind durch 5 teilbar?
Wie sieht das wohl bei allgemeinen $n$ und $p$ aus?
LG Felix
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Hallöchen
>
> > > > > Wenn du dir Beispiele angeschaut hast, wirst du gesehen
> > > > > haben dass im Nenner von [mm]H_n[/mm] jeweils immer die groesste
> > > > > Primzahl [mm]p \le n[/mm] vorkommt. Versuch das doch mal zu
> > > > > beweisen.
> > > > >
> > > > Das gelingt mir aber irgendwie nicht recht.
> > > >
> > > > Ich habe es jetzt schon versucht umzuformen und zu kürzen
> > > > bin aber auch nicht weiter gekommen. Habe lediglich:
> > > >
> > > > [mm]H_{n}=1+ \bruch{1}{2}+...+ \bruch{1}{n}[/mm]
> > > > =
> (n!+
> > > > [mm]\bruch{n!}{2}+...+ \bruch{n!}{n}) \bruch{1}{n!}[/mm]
> > >
>
> > > Sei [mm]p[/mm] die groesste Primzahl, die [mm]\le n[/mm] ist. Wie oft teilt [mm]p[/mm]
> > > den Nenner? Und welche Summanden des Zaehlers werden von [mm]p[/mm]
> > > geteilt und welche nicht? Ueberleg dir das mal.
> > >
> > Naja p teilt den Nenner 1 mal, weil es ja nur geringfügig
> > kleiner als n ist nach den beobachtungen.
>
> Es teilt den Nenner genau einmal, du musst das aber noch
> richtig begruenden. Eine Primzahl teilt doch ein Produkt
> genau dann, wenn es mindestens einen der Faktoren teilt.
>
> Du musst also zeigen: in den [mm]n[/mm] Faktoren von [mm]n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots (n-1) \cdot n[/mm]
> kommt genau einer vor, der von [mm]p[/mm] geteilt wird, und dieser
> wird genau einmal von [mm]p[/mm] geteilt.
>
Ist das nicht trivial? Muss ich da noch nen formalen Bewwis führen oder reicht es wenn ich sage, dass aus p [mm] \le [/mm] n folgt dass 1*...*p*..*(n-1)*n und somit wird der Faktor p in der Fakultät von p geteilt und das genau einmal...
> > p teilt doch alle
> > Summanden des Zählers von [mm]\bruch{n!}{p},...,\bruch{n!}{n!}[/mm]
> > und alle anderen nicht.
>
> Nein, das stimmt nicht. Wie bist du dadrauf gekommen?
>
Indem ich gekonnt ignoriert hatte, dass ich oben ne Summe habe... etwas wüst und blöd...
> Schreib das doch mal fuer [mm]n = 6[/mm] konkret auf. Dann ist [mm]p = 5[/mm].
> Wie sehen die Summanden aus? Welche davon sind durch 5
> teilbar?
In diesem Fall lassen sich alle Summanden durch 5 teilen außer der Summand [mm] \bruch{6!}{5} [/mm] selbst
>
> Wie sieht das wohl bei allgemeinen [mm]n[/mm] und [mm]p[/mm] aus?
>
Also wir im allgemeinen Fall wohl p alle Summanden außer dem Summanden [mm] \bruch{n!}{p} [/mm] teilen.
aber ich she leider immer noch nicht in wiefern mir das hilft die Aufgabe zu lösen:-(
LG Schmetterfee
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:50 Sa 22.10.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > > > > > Wenn du dir Beispiele angeschaut hast, wirst du gesehen
> > > > > > haben dass im Nenner von [mm]H_n[/mm] jeweils immer die groesste
> > > > > > Primzahl [mm]p \le n[/mm] vorkommt. Versuch das doch mal zu
> > > > > > beweisen.
> > > > > >
> > > > > Das gelingt mir aber irgendwie nicht recht.
> > > > >
> > > > > Ich habe es jetzt schon versucht umzuformen und zu kürzen
> > > > > bin aber auch nicht weiter gekommen. Habe lediglich:
> > > > >
> > > > > [mm]H_{n}=1+ \bruch{1}{2}+...+ \bruch{1}{n}[/mm]
> > > > >
> =
> > (n!+
> > > > > [mm]\bruch{n!}{2}+...+ \bruch{n!}{n}) \bruch{1}{n!}[/mm]
> >
> > >
> >
> > > > Sei [mm]p[/mm] die groesste Primzahl, die [mm]\le n[/mm] ist. Wie oft teilt [mm]p[/mm]
> > > > den Nenner? Und welche Summanden des Zaehlers werden von [mm]p[/mm]
> > > > geteilt und welche nicht? Ueberleg dir das mal.
> > > >
> > > Naja p teilt den Nenner 1 mal, weil es ja nur geringfügig
> > > kleiner als n ist nach den beobachtungen.
> >
> > Es teilt den Nenner genau einmal, du musst das aber noch
> > richtig begruenden. Eine Primzahl teilt doch ein Produkt
> > genau dann, wenn es mindestens einen der Faktoren teilt.
> >
> > Du musst also zeigen: in den [mm]n[/mm] Faktoren von [mm]n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots (n-1) \cdot n[/mm]
> > kommt genau einer vor, der von [mm]p[/mm] geteilt wird, und dieser
> > wird genau einmal von [mm]p[/mm] geteilt.
> >
> Ist das nicht trivial? Muss ich da noch nen formalen Bewwis
> führen oder reicht es wenn ich sage, dass aus p [mm]\le[/mm] n
> folgt dass 1*...*p*..*(n-1)*n und somit wird der Faktor p
> in der Fakultät von p geteilt
Das ist ok.
> und das genau einmal...
Das musst du noch begruenden! Warum gilt $2 p > n$? Das ist gerade aequivalent dazu, dass $p + 1,
dots, n$ nicht durch $p$ geteilt werden.
(Dass es das wirklich genau einmal teilt brauchst du allerdings nicht. Wenn du es nicht begruenden kannst ist's also nicht so schlimm.)
> > Schreib das doch mal fuer [mm]n = 6[/mm] konkret auf. Dann ist [mm]p = 5[/mm].
> > Wie sehen die Summanden aus? Welche davon sind durch 5
> > teilbar?
> In diesem Fall lassen sich alle Summanden durch 5 teilen
> außer der Summand [mm]\bruch{6!}{5}[/mm] selbst
Genau.
> > Wie sieht das wohl bei allgemeinen [mm]n[/mm] und [mm]p[/mm] aus?
> >
> Also wir im allgemeinen Fall wohl p alle Summanden außer
> dem Summanden [mm]\bruch{n!}{p}[/mm] teilen.
Genau.
> aber ich she leider immer noch nicht in wiefern mir das
> hilft die Aufgabe zu lösen:-(
Der Nenner ist durch $p$ teilbar. Damit der Bruch jetzt eine ganze Zahl ist, muss auch der Zaehler durch $p$ teilbar sein. Kann er das sein, wenn alle Summanden bis auf einem durch $p$ teilbar sind?
LG Felix
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Hallöchen
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> > > > > > > Wenn du dir Beispiele angeschaut hast, wirst du gesehen
> > > > > > > haben dass im Nenner von [mm]H_n[/mm] jeweils immer die groesste
> > > > > > > Primzahl [mm]p \le n[/mm] vorkommt. Versuch das doch mal zu
> > > > > > > beweisen.
> > > > > > >
> > > > > > Das gelingt mir aber irgendwie nicht recht.
> > > > > >
> > > > > > Ich habe es jetzt schon versucht umzuformen und zu kürzen
> > > > > > bin aber auch nicht weiter gekommen. Habe lediglich:
> > > > > >
> > > > > > [mm]H_{n}=1+ \bruch{1}{2}+...+ \bruch{1}{n}[/mm]
> > > >
> > >
> > =
> > > (n!+
> > > > > > [mm]\bruch{n!}{2}+...+ \bruch{n!}{n}) \bruch{1}{n!}[/mm]
>
> > >
> > > >
> > >
> > > > > Sei [mm]p[/mm] die groesste Primzahl, die [mm]\le n[/mm] ist. Wie oft teilt [mm]p[/mm]
> > > > > den Nenner? Und welche Summanden des Zaehlers werden von [mm]p[/mm]
> > > > > geteilt und welche nicht? Ueberleg dir das mal.
> > > > >
> > > > Naja p teilt den Nenner 1 mal, weil es ja nur geringfügig
> > > > kleiner als n ist nach den beobachtungen.
> > >
> > > Es teilt den Nenner genau einmal, du musst das aber noch
> > > richtig begruenden. Eine Primzahl teilt doch ein Produkt
> > > genau dann, wenn es mindestens einen der Faktoren teilt.
> > >
> > > Du musst also zeigen: in den [mm]n[/mm] Faktoren von [mm]n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots (n-1) \cdot n[/mm]
> > > kommt genau einer vor, der von [mm]p[/mm] geteilt wird, und dieser
> > > wird genau einmal von [mm]p[/mm] geteilt.
> > >
> > Ist das nicht trivial? Muss ich da noch nen formalen Bewwis
> > führen oder reicht es wenn ich sage, dass aus p [mm]\le[/mm] n
> > folgt dass 1*...*p*..*(n-1)*n und somit wird der Faktor p
> > in der Fakultät von p geteilt
>
> Das ist ok.
>
> > und das genau einmal...
>
> Das musst du noch begruenden! Warum gilt $2 p > n$? Das ist
> gerade aequivalent dazu, dass $p + 1,
> dots, n$ nicht durch $p$ geteilt werden.
>
aber wie kann ich das dennn begründenß ich dachte das folgt direkt daruas dass p die größte Primzahl kleiner oder gleich n ist?
> (Dass es das wirklich genau einmal teilt brauchst du
> allerdings nicht. Wenn du es nicht begruenden kannst ist's
> also nicht so schlimm.)
>
> > > Schreib das doch mal fuer [mm]n = 6[/mm] konkret auf. Dann ist [mm]p = 5[/mm].
> > > Wie sehen die Summanden aus? Welche davon sind durch 5
> > > teilbar?
> > In diesem Fall lassen sich alle Summanden durch 5
> teilen
> > außer der Summand [mm]\bruch{6!}{5}[/mm] selbst
>
> Genau.
>
> > > Wie sieht das wohl bei allgemeinen [mm]n[/mm] und [mm]p[/mm] aus?
> > >
> > Also wir im allgemeinen Fall wohl p alle Summanden außer
> > dem Summanden [mm]\bruch{n!}{p}[/mm] teilen.
>
> Genau.
>
> > aber ich she leider immer noch nicht in wiefern mir das
> > hilft die Aufgabe zu lösen:-(
>
> Der Nenner ist durch [mm]p[/mm] teilbar. Damit der Bruch jetzt eine
> ganze Zahl ist, muss auch der Zaehler durch [mm]p[/mm] teilbar sein.
> Kann er das sein, wenn alle Summanden bis auf einem durch [mm]p[/mm]
> teilbar sind?
>
Nein^^ Gott sei dank und genau das wollte ich ja schließlich auch zeigen.
Muss ich jetzt noch seperat zeigen, dass die Primteiler des Nenners Primzahlen [mm] \le [/mm] n sind?
Und zur Frage ob alls solchen Primzahlen im nenner stecken ist die Antwort ja aber wie begründe ich das. Liegt das an der Primfaktorzerlegung des kgV von den Nennern der einzelnen Summanden?
LG Schmetterfee
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:47 Sa 22.10.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > > Ist das nicht trivial? Muss ich da noch nen formalen Bewwis
> > > führen oder reicht es wenn ich sage, dass aus p [mm]\le[/mm] n
> > > folgt dass 1*...*p*..*(n-1)*n und somit wird der Faktor p
> > > in der Fakultät von p geteilt
> >
> > Das ist ok.
> >
> > > und das genau einmal...
> >
> > Das musst du noch begruenden! Warum gilt [mm]2 p > n[/mm]? Das ist
> > gerade aequivalent dazu, dass $p + 1,
> > dots, n$ nicht durch $p$ geteilt werden.
> >
> aber wie kann ich das dennn begründenß ich dachte das
> folgt direkt daruas dass p die größte Primzahl kleiner
> oder gleich n ist?
Dass die groesste Primzahl $p [mm] \le [/mm] n$ die Eigenschaft $2 p > n$ hat ist im Wesentlichen aequivalent zu ![[]](/images/popup.gif) Bertrands Postulat.
> > > aber ich she leider immer noch nicht in wiefern mir das
> > > hilft die Aufgabe zu lösen:-(
> >
> > Der Nenner ist durch [mm]p[/mm] teilbar. Damit der Bruch jetzt eine
> > ganze Zahl ist, muss auch der Zaehler durch [mm]p[/mm] teilbar sein.
> > Kann er das sein, wenn alle Summanden bis auf einem durch [mm]p[/mm]
> > teilbar sind?
>
> Nein^^ Gott sei dank und genau das wollte ich ja
> schließlich auch zeigen.
Gut.
> Muss ich jetzt noch seperat zeigen, dass die Primteiler des
> Nenners Primzahlen [mm]\le[/mm] n sind?
Ja.
> Und zur Frage ob alls solchen Primzahlen im nenner stecken
> ist die Antwort ja aber wie begründe ich das. Liegt das an
> der Primfaktorzerlegung des kgV von den Nennern der
> einzelnen Summanden?
Im Wesentlichen ja. Der Nenner ist ein Teiler von $n!$, da $n! [mm] \cdot H_n \in \IZ$ [/mm] gilt. Folglich reicht es aus zu zeigen, dass $n!$ keine Primfaktoren $> n$ hat.
Aber jeder Primfaktor $p$ von $n!$ muss ein Teiler von $k$ sein mit $1 [mm] \le [/mm] k [mm] \le [/mm] n$, da $n!$ das Produkt aller dieser $k$ ist. Damit gilt $p [mm] \le [/mm] k [mm] \le [/mm] n$.
LG Felix
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Hallöchen
>
> > Nein^^ Gott sei dank und genau das wollte ich ja
> > schließlich auch zeigen.
>
> Gut.
>
> > Muss ich jetzt noch seperat zeigen, dass die Primteiler des
> > Nenners Primzahlen [mm]\le[/mm] n sind?
>
> Ja.
>
> > Und zur Frage ob alls solchen Primzahlen im nenner stecken
> > ist die Antwort ja aber wie begründe ich das. Liegt das an
> > der Primfaktorzerlegung des kgV von den Nennern der
> > einzelnen Summanden?
>
> Im Wesentlichen ja. Der Nenner ist ein Teiler von [mm]n![/mm], da [mm]n! \cdot H_n \in \IZ[/mm]
> gilt. Folglich reicht es aus zu zeigen, dass [mm]n![/mm] keine
> Primfaktoren [mm]> n[/mm] hat.
Aber wie zeige ich das denn formal anschaulich ist ja klar, dass das nicht geht denn wenn ich n! in seine Primfaktoren zerlege werden die einzelnen Faktoren doch höchstens kleiner weil ich sie in kleinere Primfaktoren zerlege als größer aber wie zeigt man das formal?
Hätte ich damit denn auch bereits gezeigt das bereit alle Primteiler des nenners Primzahlen sind? Meiner Meinung nach nicht denn so hätte ich ja nur gezeigt, dass es keine größeren Sind aber nicht das die primteiler des Nenners Primzahlen sind aber liegt das nicht schon an der eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung?
>
> Aber jeder Primfaktor [mm]p[/mm] von [mm]n![/mm] muss ein Teiler von [mm]k[/mm] sein
> mit [mm]1 \le k \le n[/mm], da [mm]n![/mm] das Produkt aller dieser [mm]k[/mm] ist.
> Damit gilt [mm]p \le k \le n[/mm].
>
Muss ich das auch noch zeigen?
LG Schmetterfee
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> Hätte ich damit denn auch bereits gezeigt das bereit alle
> Primteiler des nenners Primzahlen sind?
Nur zum Begriff "Primteiler".
Eine Zahl [mm] a\in\IN [/mm] wird doch dann und nur dann Primteiler
(oder Primfaktor) einer Zahl [mm] n\in\IN [/mm] genannt, wenn sie
zweitens ein Teiler von n und erstens eine Primzahl ist.
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:23 Mo 24.10.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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