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| Aufgabe | | Beweisen Sie, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, die kongruent zu -1 modulo 3 sind |
Hallo,
Also ich verstehe den Beweis nicht ganz und benötige in in meinem Vortrag:
Im Prinzip ist er analog zum Beweis vom Satz von Euklid. Den Anfang habe ich selbst gemacht, dann wusste ich nicht weiter und habe in Büchern recherchiert. Jetzt habe ich auch den Rest des Beweises aber verstehe ihn nicht ganz.
Beweis durch Wiederspruch
Annahme: Es gibt nur endlich viele Primzahlen, die kongruent zu -1 mod 3 sind
Dann definiere ich mir einen Zahl a, die
(1) Vielfachesdes Produktes der endlichen Primzahlen ist
(2) kongruent zu -1 mod 3 ist
[mm] \Rightarrow a=3*(p_{1} \ldots p_{n})-1=-1 [/mm] mod 3
Betrachtet man nun die Zahl a
[mm] \to [/mm] Dann ist diese nicht durch 3 teilbar
[mm] \to [/mm] Dann ist diese nicht durch eine Primzahl kongruent -1 mod 3 teilbar (warum???)
[mm] \to [/mm] sie ist ausschließlich durch Primzahlen kongruent 1 mod 3 teilbar (warum???)
[mm] \Rightarrow [/mm] Sie ist selbst kongruent 1 mod 3 (warum???)
Dann habe ich mir ein Beispiel konstruiert, aber ich weiß auch nicht ob ich das so machen darf.
Es darf ja nur endlich viele Primzahlen geben und das Ende lege ich jetzt mal bei 17 fest.
Also ist P=2*3*5*7*11*13*17=510510
und a=1531529=1109*1381 (Primfaktorzerlegung)
1109 [mm] \equiv [/mm] -1 mod 3
1381 [mm] \equiv [/mm] 1 mod 3
Und wie man sieht klappt das nicht. Kann vielleicht daran liegen, dass bei der Primfaktorzerlegung was größeres als 17 rauskam. Gibt es denn Beispiele, wo das klappt? Also berechenbare
Vielen Dank für eure Hilfe
lisa
# Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
willkommen im Forum!
> Beweisen Sie, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, die
> kongruent zu -1 modulo 3 sind
> Hallo,
>
> Also ich verstehe den Beweis nicht ganz und benötige in in
> meinem Vortrag:
>
> Im Prinzip ist er analog zum Beweis vom Satz von Euklid.
> Den Anfang habe ich selbst gemacht, dann wusste ich nicht
> weiter und habe in Büchern recherchiert. Jetzt habe ich
> auch den Rest des Beweises aber verstehe ihn nicht ganz.
>
> Beweis durch Wiederspruch
>
> Annahme: Es gibt nur endlich viele Primzahlen, die
> kongruent zu -1 mod 3 sind
Das sind die Zahlen [mm] p_1, [/mm] ..., [mm] p_n [/mm] im weiteren Beweis!
>
> Dann definiere ich mir einen Zahl a, die
> (1) Vielfachesdes Produktes der endlichen Primzahlen ist
> (2) kongruent zu -1 mod 3 ist
> [mm]\Rightarrow a=3*(p_{1} \ldots p_{n})-1=-1[/mm] mod 3
>
> Betrachtet man nun die Zahl a
> [mm]\to[/mm] Dann ist diese nicht durch 3 teilbar
> [mm]\to[/mm] Dann ist diese nicht durch eine Primzahl kongruent -1
> mod 3 teilbar (warum???)
Weil nach Gegenannahme nur [mm] p_1, \ldots, p_n [/mm] diese Eigenschaften haben - a ist aber keine von denen
> [mm]\to[/mm] sie ist ausschließlich durch Primzahlen kongruent 1 mod 3 teilbar (warum???)
Folgt direkt daraus, dass sie nicht durch die [mm] p_i [/mm] teilbar ist (das sind nach Gegenannahme die einzigen Primzahlen [mm] \equiv [/mm] -1 mod 3) und nicht durch 3 teilbar ist
> [mm]\Rightarrow[/mm] Sie ist selbst kongruent 1 mod 3
> (warum???)
Da alle Faktoren der eindeutigen primfaktorzerlegung nach vorigen Schlussfolgerungen [mm] \equiv [/mm] 1 mod 3 sind.
>
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> Dann habe ich mir ein Beispiel konstruiert, aber ich weiß
> auch nicht ob ich das so machen darf.
Nein, du hast Primzahlen genommen, die nicht [mm] \equiv [/mm] -1 mod 3 sind.
>
> Es darf ja nur endlich viele Primzahlen geben und das Ende
> lege ich jetzt mal bei 17 fest.
>
> Also ist P=2*3*5*7*11*13*17=510510
> und a=1531529=1109*1381 (Primfaktorzerlegung)
>
> 1109 [mm]\equiv[/mm] -1 mod 3
> 1381 [mm]\equiv[/mm] 1 mod 3
>
> Und wie man sieht klappt das nicht. Kann vielleicht daran
> liegen, dass bei der Primfaktorzerlegung was größeres als
> 17 rauskam. Gibt es denn Beispiele, wo das klappt? Also
> berechenbare
>
> Vielen Dank für eure Hilfe
gern geschehen 
> lisa
>
> # Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
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