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| Aufgabe | Man zeige direkt:
Wenn gilt:
Zu je zwei teilerfremden natuerlichen Zahlen a, k gibt es eine Primzahl p > a mit p ≡ a mod k
Dann folgt:
Zu je zwei teilerfremden natuerlichen Zahlen a, k gibt es unendlich viele Primzahlen p mit p ≡ a mod k |
Hallo allerseits
dies ist mein erster Eintrag in diesem mir von einem Kumpel empfohlenen Forum!
Ich habe Probleme mit dieser Aufgabe.
Ich habe zunaechst versucht mir ein Beispiel rauszusuchen.
a=2, k=3
Primzahlen die also in Frage kaemen sind: 5,11,17,23,29.....
Mein Ansatz waere mir eine Folge zu definieren die unendlich lange ist, habe aber gemerkt dass es unmoeglich ist sich diese zu definieren.
Kann mir jmd helfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:09 Mi 16.12.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Man zeige direkt:
> Wenn gilt:
> Zu je zwei teilerfremden natuerlichen Zahlen a, k gibt es
> eine Primzahl p > a mit p ≡ a mod k
> Dann folgt:
> Zu je zwei teilerfremden natuerlichen Zahlen a, k gibt es
> unendlich viele Primzahlen p mit p ≡ a mod k
>
> Hallo allerseits
> dies ist mein erster Eintrag in diesem mir von einem
> Kumpel empfohlenen Forum!
Na dann, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
> Ich habe Probleme mit dieser Aufgabe.
> Ich habe zunaechst versucht mir ein Beispiel rauszusuchen.
> a=2, k=3
> Primzahlen die also in Frage kaemen sind:
> 5,11,17,23,29.....
> Mein Ansatz waere mir eine Folge zu definieren die
> unendlich lange ist, habe aber gemerkt dass es unmoeglich
> ist sich diese zu definieren.
> Kann mir jmd helfen?
Versuch es doch mal per Widerspruch. Angenommen, es gibt nur endlich viele solche Primzahlen. (Dass es mindestens eine gibt zeigt die Voraussetzung.)
Wenn es nur endlich viele gibt, gibt es eine groesste, nennen wir sie $q$.
Kannst du jetzt die Voraussetzung benutzen, um daraus einen Widerspruch zu bekommen?
LG Felix
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Hallo,
also ich sitze auch gerade an dem Problem.
Wenn ich aber nun annehme, dass es nur endlich viele Primzahlen gibt, mit [mm] p\equiv a\:\mbox{mod}\, [/mm] k, wo soll ich dann zum Widerspruch kommen.
Aus der Annahme folgt, dass es eine größte PZ q gibt mit [mm] q\equiv a\:\mbox{mod}\, [/mm] k.
Viele Eigenschaften habe ich ja nicht, denen das widersprechen könnte. Entweder erfüllt dann q q>a nicht oder es hakt bei der Teilerfremdheit von a und k. Aber wie genau der Widerspruch zustande kommen soll, kann ich nicht erkennen???
Gruß Sleeper
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:54 Mi 16.12.2009 | | Autor: | abakus |
> Man zeige direkt:
> Wenn gilt:
> Zu je zwei teilerfremden natuerlichen Zahlen a, k gibt es
> eine Primzahl p > a mit p ≡ a mod k
Hallo,
nennen wir diese Primzahl mal [mm] p_1.
[/mm]
Es sind nicht nur a und k teilerfremd, sondern auch [mm] p_1 [/mm] und k (warum?)
Wenn also [mm] p_1 [/mm] und k teilerfremd sind, dann gibt es eine Primzahl [mm] p_2>p_1 [/mm] mit
[mm] p_2\equiv p_1 [/mm] mod k. (Das entspricht der Aussage der Voraussetzung des zu beweisenden Satzes.)
Dann gibt es eine Primzahl [mm] p_3>p_2 [/mm] mit ...
usw.
Gruß Abakus
> Dann folgt:
> Zu je zwei teilerfremden natuerlichen Zahlen a, k gibt es
> unendlich viele Primzahlen p mit p ≡ a mod k
> Hallo allerseits
> dies ist mein erster Eintrag in diesem mir von einem
> Kumpel empfohlenen Forum!
> Ich habe Probleme mit dieser Aufgabe.
> Ich habe zunaechst versucht mir ein Beispiel rauszusuchen.
> a=2, k=3
> Primzahlen die also in Frage kaemen sind:
> 5,11,17,23,29.....
> Mein Ansatz waere mir eine Folge zu definieren die
> unendlich lange ist, habe aber gemerkt dass es unmoeglich
> ist sich diese zu definieren.
> Kann mir jmd helfen?
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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ahhhh ja jetzt sehe ichs!
das war ja an sich ganz einfach...mist, hät ich selber drauf kommen können ;)
trotzdem danke jungs, ihr habt mir toll geholfen!
und super cooles forum ;)
greets james
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