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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:13 Di 12.02.2008 | | Autor: | gnom |
| Aufgabe | Sei G eine Gruppe mit |G| = [mm]p^n[/mm] , p Primzahl , n [mm] \ge1[/mm]
Zeige, dass ein [mm] x\in G [/mm] mit ord(x) =p existiert, so dass für alle [mm] g\in G[/mm] : gx=xg gilt. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Man weiß, dass |G| = [mm]p^n[/mm] eine Gruppe mit Primzahlpotenzordnung ist. Aber wie zeige ich, dass für diese Gruppe gx=xg gilt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:45 Di 12.02.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo.
> Sei G eine Gruppe mit |G| = [mm][mm]p^n[/mm][/mm] , p Primzahl , n [mm][mm]\ge1[/mm][/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm] Zeige, dass ein [mm][mm]x\in[/mm] G [mm][/mm][/mm] mit ord(x) =p existiert, so dass für alle [mm][mm]g\in G[/mm][/mm] : gx=xg gilt.[/mm][/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm][mm] Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.[/mm][/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm][mm] Man weiß, dass |G| = [mm]p^n[/mm] eine Gruppe mit Primzahlpotenzordnung ist. Aber wie zeige ich, dass für diese Gruppe gx=xg gilt?[/mm][/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm][mm] [/mm][/mm][/mm][/mm]
Die Behauptung besagt gerade, dass das Zentrum von $G$ aus mehr als einem Element besteht (wie sieht die Ordnung nach Lagrange also aus?).
Um die Behauptung zu zeigen, benoetigst du nun die Klassengleichung (und natuerlich auch den Satz von Lagrange).
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:25 Di 12.02.2008 | | Autor: | gnom |
|G|= [mm]p^n[/mm], nach Lagrange teilt die Untergruppe die Gruppenordnung.
Deshalb ist existiert ein x[mm]\in G[/mm] mit ord(x)=p, da p|[mm]p^n[/mm].
Ist das so richtig? Wie müßte ich weiter vorgehen?
Kapiere es einfach nicht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:43 Di 12.02.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> |G|= [mm]p^n[/mm], nach Lagrange teilt die Untergruppe die
> Gruppenordnung.
> Deshalb ist existiert ein x[mm]\in G[/mm] mit ord(x)=p, da p|[mm]p^n[/mm].
Wuerdest du das ``Deshalb'' bitte belegen? Jeder kann einfach so irgendetwas behaupten und dann darauf warten dass andere dem zustimmen oder widerlegen, ganz egal ob es stimmt oder nicht.
> Ist das so richtig?
Warum sollte das richtig sein? Gibt es irgendeinen Grund dafuer?
> Wie müßte ich weiter vorgehen?
Wie schon gesagt: Klassengleichung. Lagrange tritt nur `nebenbei' auf, der Hauptteil der Arbeit wird hier von der Klassengleichung erledigt.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:45 Mi 13.02.2008 | | Autor: | gnom |
Hallo nochmal,
> Wie schon gesagt: Klassengleichung. Lagrange tritt nur
> 'nebenbei' auf, der Hauptteil der Arbeit wird hier von der
> Klassengleichung erledigt.
Also |G| ist eine p-Gruppe, d.h. sie hat die Ordnung [mm]p^k[/mm] für k [mm]\in \IN[/mm]
Das Zentrum [mm]Z(G)=:{ x \in G, gx=xg }[/mm]für alle [mm]g\in G:[/mm]
Man weiß, dass das Zentrum eine Untergruppe von G ist (sogar ein Normalteiler).
Nach Lagrange : |G|= [G:U]*|U|
|G|=[mm]p^k[/mm]--> |Z(G)|=[mm]p^j[/mm] für ein j [mm]\le[/mm]k.
Sei j nicht gleich 0:
Seien [mm]g_1,...,g_k [/mm] wie in der Klassengleichung:
|G|= |Z(G)|+ [mm]\sum_{j=1}^{k} |[g_j]|= |Z(G)|+\sum_{j=1}^{k}[G:C(g_j)][/mm]
Dann ist die U [mm]C(g_j) \not= G \Rightarrow [G:C(g_j)] \not= 1
\Rightarrow p| [G: C(g_j)][/mm] für alle j.
Dann ist p ein Teiler von [mm]\sum_{j=1}^{k}[G:C(g_j)][/mm], also auch von |G| - [mm]\sum_{j=1}^{k}[G:C(g_j)][/mm].
Nach Klassengleichung ist dies die Zahl |Z(G)|.
Wäre das so richtig begründet?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:01 Do 14.02.2008 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > Wie schon gesagt: Klassengleichung. Lagrange tritt nur
> > 'nebenbei' auf, der Hauptteil der Arbeit wird hier von der
> > Klassengleichung erledigt.
>
> Also |G| ist eine p-Gruppe, d.h. sie hat die Ordnung [mm]p^k[/mm]
> für k [mm]\in \IN[/mm]
> Das Zentrum [mm]Z(G)=:{ x \in G, gx=xg }[/mm]für alle
> [mm]g\in G:[/mm]
> Man weiß, dass das Zentrum eine Untergruppe von G ist
> (sogar ein Normalteiler).
> Nach Lagrange : |G|= [G:U]*|U|
> |G|=[mm]p^k[/mm]--> |Z(G)|=[mm]p^j[/mm] für ein j [mm]\le[/mm]k.
>
> Sei j nicht gleich 0:
> Seien [mm]g_1,...,g_k[/mm] wie in der Klassengleichung:
> |G|= |Z(G)|+ [mm]\sum_{j=1}^{k} |[g_j]|= |Z(G)|+\sum_{j=1}^{k}[G:C(g_j)][/mm]
>
> Dann ist die U [mm]C(g_j) \not= G \Rightarrow [G:C(g_j)] \not= 1
\Rightarrow p| [G: C(g_j)][/mm]
> für alle j.
> Dann ist p ein Teiler von [mm]\sum_{j=1}^{k}[G:C(g_j)][/mm], also
> auch von |G| - [mm]\sum_{j=1}^{k}[G:C(g_j)][/mm].
> Nach Klassengleichung ist dies die Zahl |Z(G)|.
>
> Wäre das so richtig begründet?
Ja, wobei du den Punkt [mm] $C(g_j) \neq [/mm] G$ vielleicht noch etwas ausfuehren solltest. Davon abgesehen ist's aber perfekt :)
LG Felix
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