Primzahlprodukt < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:20 So 11.08.2013 | | Autor: | wauwau |
| Aufgabe | Für welche k > 2 gibt es Primzahlen [mm] $p_1,p_2,...,p_k$ [/mm] und eine positive ganze Zahl $n$, sodass
[mm] $p_1p_2...p_k-(p_1-1)(p_2-1)...(p_k-1)$ [/mm] = [mm] n^2 [/mm] |
Für k=2, was aber ausgenommen ist gibts Lösungen...
Ich habe den Verdacht entweder es gibt für alle k>2 Lösungen oder für kein k>2
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Für $ k=3 $ gibt es jedenfalls die Lösung $ (2,2,5) $.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:25 So 11.08.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Für [mm]k=3[/mm] gibt es jedenfalls die Lösung [mm](2,2,5) [/mm].
Es gibt auch noch $(3, 5, 23)$. Da sind sogar alle drei Primzahlen verschieden und alle sind ungerade. Weitere Werte fuer [mm] $p_3$ [/mm] bei [mm] $p_1 [/mm] = 3$, [mm] $p_2 [/mm] = 5$ sind [mm] $p_3 [/mm] = 31$, [mm] $p_3 [/mm] = 103$, [mm] $p_3 [/mm] = 239$, [mm] $p_3 [/mm] = 263$, [mm] $p_3 [/mm] = 431$, [mm] $p_3 [/mm] = 463$. So selten kommt das also gar nicht vor...
LG Felix
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 08:46 Mo 12.08.2013 | | Autor: | wauwau |
Ok für k=3 gibts also Lösungen.
Aber wie schauts für k=4,5...... aus?
Kann man beweisen, dass es für alle k immer eine Lösung gibt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:29 Mo 12.08.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ok für k=3 gibts also Lösungen.
> Aber wie schauts für k=4,5...... aus?
$k = 4$: 3 5 17 503
$k = 5$: 29 47 179 389 733
$k = 6$: 3 5 7 17 47 383
Im ![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") Anhang ist ein kleines Programm mit dem man weitersuchen kann. Bei $k = 7$ und $k = 8$ hab ich es nach 84 Minuten abgebrochen, es hatte bis dahin noch nichts gefunden. Aber mit genügend geht das sicher auch...
(Eine andere Enumeration würde das sicher beschleunigen, wenn man z.B. nach [mm] $\max [/mm] A$ + lexikographisch enumerieren würde...)
> Kann man beweisen, dass es für alle k immer eine Lösung
> gibt?
Vielleicht schon.
LG Felix
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: py) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:21 Mo 12.08.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > Ok für k=3 gibts also Lösungen.
> > Aber wie schauts für k=4,5...... aus?
>
> [mm]k = 4[/mm]: 3 5 17 503
>
> [mm]k = 5[/mm]: 29 47 179 389 733
>
> [mm]k = 6[/mm]: 3 5 7 17 47 383
Eine etwas optimierte Version des Programmes (im wesentlichen die neue Enumeration) hat noch folgendes geliefert:
$k = 7$: 5 7 13 19 43 53 67
$k = 8$: 7 23 29 47 59 101 109 137
$k = 9$: 7 17 19 23 59 61 97 113 157
LG Felix
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: py) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:20 Di 27.08.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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