Prinzipieller Verlauf von Gr. < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:59 So 19.09.2010 | | Autor: | miss_alenka |
Guten abend ihr lieben;)
ich würde gerne wissen wie man prinzipielle skizzen von exponentialfunktionen darstellt. also wie zum beispiel anhand der funktion f(x)= [mm] e^x-x-4 [/mm] rausfinden kann wie der graph verläuft.
wie kann man das erkennen?
vielen dank imm voraus!!
lg miss_alenka
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:15 So 19.09.2010 | | Autor: | Disap |
Hallo!
> ich würde gerne wissen wie man prinzipielle skizzen von
> exponentialfunktionen darstellt.
Ich glaube, eine Antwort in der Form, wie du sie erwartest, gibt es nicht.
> also wie zum beispiel
> anhand der funktion f(x)= [mm]e^x-x-4[/mm] rausfinden kann wie der
> graph verläuft.
>
> wie kann man das erkennen?
Zunächst ein Mal fällt ja sofort auf, "Monotonie? Grenzwerte?"
Dann kennst du wahrscheinlich auch die Funktion [mm] e^x [/mm] sehr gut, und kannst dir vorstellen, wie [mm] e^x [/mm] - 4 aussieht. Eigentlich genauso, halt nur um -4 nach unten verschoben
-> 1. Skizze
Dann fehlt noch das "-x". Zeichne die Funktion "x" in die Skizze ein
Na ja, und dann kannst du ziemlich schnell zeichnerisch die Differenz bilden.
Als Fuchs weiß man natürlich sofort, wie x aussieht, [mm] e^x [/mm] und kann [mm] e^x-x [/mm] mal eben so skizzieren. Einfach weil der Verlauf der Funktionen einem so gut bekannt ist.
Mal eben so zeichnen und dabei noch genau sein und die Nullstelel 100% zu treffen ist schon eher eine Meisterleistung, wenn man dabei noch schnell ist.
Mfg
|
|
|
| |
|
ok vielen dank:) also was ich weiß, ist dass man kann anhand des exponenten erkennen ob der graph wächst oder fällt. wenn der exponent negativ ist dann fällt der graph und umgekehrt.
aber manchmal fragt meine lehrerin aus welchem quadranten kommt der graph und in welchem endet er..? das weiß ich irgendwie nicht...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:29 So 19.09.2010 | | Autor: | fencheltee |
> ok vielen dank:) also was ich weiß, ist dass man kann
> anhand des exponenten erkennen ob der graph wächst oder
> fällt. wenn der exponent negativ ist dann fällt der graph
> und umgekehrt.
>
> aber manchmal fragt meine lehrerin aus welchem quadranten
> kommt der graph und in welchem endet er..? das weiß ich
> irgendwie nicht...
>
dazu kannst du ja grenzwerte benutzen
z.b um zu schauen wo er herkommt
[mm] \limes_{x\rightarrow -\infty}f(x)
[/mm]
und wohin er geht
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}f(x)
[/mm]
in deinem beispiel
[mm] f(x)=e^x-x-4
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow -\infty}e^x-x-4=\infty
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}e^x-x-4=\infty (e^x [/mm] wächst stärker als x, von daher [mm] \infty)
[/mm]
also ausm 2. quadranten in den 1.
gruß tee
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:35 So 19.09.2010 | | Autor: | Disap |
> ok vielen dank:) also was ich weiß, ist dass man kann
> anhand des exponenten erkennen ob der graph wächst oder
> fällt. wenn der exponent negativ ist dann fällt der graph
> und umgekehrt.
>
> aber manchmal fragt meine lehrerin aus welchem quadranten
> kommt der graph und in welchem endet er..? das weiß ich
> irgendwie nicht...
Als Beispiel mal zurück zu [mm] $f(x)=e^x-x-4$
[/mm]
Als erstes siehst du ja das [mm] e^x. [/mm] Die Exponentialfunktion dominiert ja im Allgemeinen. Das heißt, die Funktion geht für $x [mm] \to +\infty$ [/mm] gilt $f(x) [mm] \to \infty$. [/mm]
Was passiert für x [mm] \to [/mm] - [mm] \infty? [/mm] Na ja, [mm] e^x [/mm] geht gegen 0, aber [mm] \lim_{x \to -\infty} [/mm] x = [mm] -\infty
[/mm]
Somit muss doch f(x) [mm] \to +\infty [/mm] gehen. Denn im Prinzip ziehst du von 0 minus unendlich ab (Minus minus ist plus)
Jetzt weißt du außerdem, [mm] e^x [/mm] beginnt im ersten Quadranten und wächst dann monoton die ganze Zeit und endet im zweiten Quadranten.
Der erste und zweite Quadrant - da gehören ja die positiven y-Werte zu, die hier auch vorliegen.
Welcher Quadrant wird noch getroffen? Ganz offensichtlich ist das wohl nie.
Hier weißt du aber, dass [mm] e^x-4 [/mm] die Exponentialfunktion um 4 Einheiten nach unten verschoben ist. [mm] e^x [/mm] auszuwerten ist eh nie ganz einfach, daher bietet sich die Stelle x=0 an. Da weißt du ja sofort, [mm] e^0 [/mm] = 1.
Also ist [mm] e^0 [/mm] - 4 = 1-4 = -3.
Na ja, und jetzt fehlt da doch nur noch das -x. Also [mm] e^0-x-4. [/mm] Da wir aber gerade an der Stelle x=0 sind, gilt doch [mm] e^0-0-4 [/mm] = -3.
Jetzt ist eigentlich schon klar, du bist im ersten Quadrant, (positive Y-Werte) irgendwie musst du ja zu dem -3 kommen. Also musst du durch den zweiten Quadranten durch, und dann durch den dritten (weil f(x) doch divergiert (also für x gegen unendlich gilt f(x) [mm] \to \infty) [/mm] )
Wenn du jetzt aber [mm] e^x-x+4 [/mm] nimmst, da findest du dann gar kein WErt mehr, sodass diese Funktion negativ wird. Also verläuft sie wohl nur im 1. und 2. Quadranten.
Da ist eigentlich viel Übung bei. Und nicht umsonst muss man Extremwerte/Minimum/Maximum ausrechnen.
MfG
Edit: Och, fencheltee war schneller als ich.
Edit2: Und lesen kann ich auch nicht richtig... Es war ja nur nach beginnendem Quadranten und endenen gefragt. Da sind die Grenzwertbetrachtungen natürlich schon ausreichend
|
|
|
| |
|
oh super so viele informationen auf einmal:) vielen dank muss ich erstmal in ruhe durchlesen:)
|
|
|
|
