Problem Ableitung < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bei einer Funktion f gelte für alle x [mm] \in \IR [/mm] : [mm] f(x)\not=0 [/mm] , f ist differenzierbar und f'(x)= x*f(x)
a) Stellen Sie f''(x) und f'''(x) durch f(x) dar.
b) Zeigen Sie, dass f an der Stelle 0 ein lokales Extremum hat. Welche Bedingungen muss f erfüllen, damit es sich um ein Maximum handelt. |
Hallo Zusammen,
haben diese Aufgaben auf bekommen und ich habe irgendwie gar keine Ahnung wie ich das lösten könnte.
Hat vielleicht jemand einen Tipp oder eine Idee für mich?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:05 Do 07.02.2008 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
a)
f'(x)=x*f(x)
Dann folgt mir der Produktregel:
f''(x)=1*f(x)+x*f'(x)=f(x)+x*f'(x)
Und da f'(x)=x*f(x):
f''(x)=f(x)+x²*f(x) (=f(x)(1+x²))
f'''(x) schaffst du dann sicher, wenn das Prinzip erst einmal klar ist!
b)
Wenn du in f'(x) 0 einsetzt, erhälst du 0.
Notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist also erfüllt.
Dann musst du ja die 0 noch in f''(x) einsetzen!
f''(0)=f(0)(1+0)=f(0)
Wenn f''(0)=f(0)>0, dann ist an der Stelle 0 ein...
Wenn f''(0)=f(0)<0, dann ist an der Stelle 0 ein...
Das Problem ist nur, dass man von konkreten Funktionen in allgemeine Funktionen übergeht, aber die grundlegenden Sachen wie Ableitungsregeln u.s.w. bleiben trotzdem gültig!
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| Aufgabe | | c) Begründen Sie, dass f keine Wendestelle besitzt. |
Hallo,
danke für die ausführliche Antwort!
Also ist [mm] f'''(x)=f(x)*(1+x^{2}+x) [/mm] oder nicht?
bei b) muss der Wertebereich von f(x) kleiner als null sein, damit f''(x) bei x=0 kleiner als 0 ist.
die Begründung bei c) ist dann:
Da das notwendige Kriterium für Wendestellen f''(x)=0 ist, kann f(x) keine Wendestellen besitzten, da f''(x) einfach nie null werden kann oder? Das Quadrat in der Klammer verhindert, dass diese ihren Betrag verliert.
Danke für deine Hilfe, bitte korrigier mich wenn ich falsch liege.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:03 Do 07.02.2008 | | Autor: | Teufel |
f'(x)=x*f(x)
f''(x)=f(x)(1+x²)
f'''(x)=f'(x)(1+x²)+f(x)*2x=xf(x)(1+x²)+f(x)*2x=f(x)(x³+3x)
Und bei b) muss f(0)<0 sein! Also muss f an der Stelle 0 einen negativen y-Wert haben. Wenn der Wertebereich sonst wo größer als 0 ist, ändert das nichts an dem Hochpunkt da! Hauptsache f(0)<0.
c)
f''(x)=f(x)(1+x²)=0
1+x² wird nie 0, also muss f(x)=0 sein.
Wenn ein Wendepunkt vorliegen soll, muss f'''(x) an der Stelle ungleich 0 sein.
Aber weil f'''(x)=f(x)(x³+3x) ist, wird f'''(x) auch 0, da f(x)=0 ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:07 Do 07.02.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Teufel!
> Wenn ein Wendepunkt vorliegen soll, muss f'''(x) an der
> Stelle ungleich 0 sein.
Diese Aussage ist falsch. Denn die Bedingung [mm] $f'''(x_w) [/mm] \ [mm] \not= [/mm] \ 0$ ist nur hinreichend, jedoch nicht notwendig (siehe Beispiel $y \ = \ [mm] x^5$ [/mm] ).
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:13 Do 07.02.2008 | | Autor: | Teufel |
Ja genau, das wollte ich schon immer mal fragen, weil wir das nur so gelernt haben, aber mir Ausnahmen wir [mm] y=x^5 [/mm] auch aufgefallen sind. Gut dass du es ansprichst ;)
Wann kann man denn erst sicher sein, dass man es mit einem Wendepunkt zutun hat? Muss dazu die "letzte" Ableitung (die konstante am Ende) ungleich 0 sein?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:16 Do 07.02.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Teufel!
Wenn das hinreichende Kriterium für Wendestellen mit [mm] $f'''(x_w) [/mm] \ [mm] \not= [/mm] \ 0$ nicht erfüllt ist, musst Du z.B. überprüfen, ob die 2. Ableitung an der ermittelten Wendestelle ein Vorzeichenwechsel macht.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:19 Do 07.02.2008 | | Autor: | Teufel |
Jo, hi erstmal!
Ah klar, das geht natürlich auch :)
Danke dir.
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Okay, vielen dank für die schnelle Hilfe, echt super.
Dann ist ja alles klar und das Abi kann kommen (naja in Mathe noch nciht ganz)
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