Problem Arithmetische Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo
Ich habe mich gerade vertiefend mit Folgen und Reihen beschäftigt. Dabei habe ich einmal durch folgendes Problem motiviert nachgedacht, und mich dabei extrem verwirrt.
In meinem Skript steht für die Summenformel der Arithmetischen Reihe: [mm] ${{s}_{n}}=\frac{n\cdot \left[ 2{{a}_{1}}+\left( n-1 \right)\cdot d \right]}{2}$
[/mm]
Und in Wikipedia: [mm] $s_n [/mm] = [mm] \sum_{i=0}^n(i \cdot [/mm] d + [mm] a_0) [/mm] = [mm] a_0 [/mm] (n+1) + [mm] d\, \frac{n(n+1)}{2} [/mm] = [mm] (n+1)\left(a_0 + d\,\frac{n}{2}\right)$
[/mm]
Nun wollte ich zeigen, dass beide Formeln äquivalent sind.
Dies machte ich folgendermaßen:
[mm] \[\left( n+1 \right)\cdot \left( {{a}_{0}}+d\frac{n}{2} \right)=\frac{\left( n+1 \right)\cdot \left( 2{{a}_{0}}+d\cdot n \right)}{2}=\frac{n\cdot \left( 2{{a}_{0}}+d\cdot n \right)+\left( 2{{a}_{0}}+d\cdot n \right)}{2}=\frac{2{{a}_{0}}+d{{n}^{2}}+2{{a}_{0}}+{{d}_{n}}}{2}\]
[/mm]
Nun versuchte ich den Term der Summenformel aus meinem Skript so umzuformen, wie die umgeformte Wikipediaformel.
Dabei dachte ich an die Zahlenfolge von 1-100 und kam es mir ganz logische vor, dass die Summenformel von Wikipedia bei 0 zu addieren begann, die Summenformel aus meinem Skript bei 1.
Also war die Differenz zwischen den Summenformeln doch nur das letzte Glied der Reihe aus meinem Skript. Dadurch kam ich zur Erkenntnis: Ich setzte bei der Summenformel aus meinem Skript für [mm] ${{a}_{1}}$ ${{a}_{0}}$ [/mm] ein und addiere [mm] ${{a}_{0}}+n\cdot [/mm] d$ da das n-te Glied einer Folge ja [mm] ${{a}_{1}}+\left( n-1 \right)\cdot [/mm] d$ ist.
Mathematisch formuliert:
[mm] $\frac{n\cdot \left[ 2{{a}_{0}}+\left( n-1 \right)\cdot d \right]+2\left( {{a}_{0}}+n\cdot d \right)}{2}=\frac{2{{a}_{0}}n+d{{n}^{2}}+2{{a}_{0}}+d\cdot n}{2}$
[/mm]
Somit ist gezeigt beide Ausdrücke sind äquivalent.
Ich dachte jedoch noch darüber nach, wodurch ich mich völlig verwirrte. Angenommen [mm] ${{a}_{0}}$ [/mm] ist gößer 0, dann würde doch das ganze nicht mehr stimmen, denn wnn ich dann das letzte Glied addiere, habe ich immer um da 1. Glied zuviel, infolgedessen ich doch das erste Gleid abziehen müsste. Würde ich das jedoch machen, würde ich nicht mehr [mm] ${{a}_{0}}+d\cdot [/mm] n$ addieren, sondern [mm] $d\cdot [/mm] n$ wodurch ich zeigen würde, dass beide Ausdrücke nicht äquivalent sind.
Bitte helft mir den Fehler zu finden!
Danke
Mit freundlichen Grüßen
Platoniker
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Hallo Platoniker,
> Hallo
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> Ich habe mich gerade vertiefend mit Folgen und Reihen
> beschäftigt. Dabei habe ich einmal durch folgendes Problem
> motiviert nachgedacht, und mich dabei extrem verwirrt.
>
> In meinem Skript steht für die Summenformel der
> Arithmetischen Reihe: [mm]{{s}_{n}}=\frac{n\cdot \left[ 2{{a}_{1}}+\left( n-1 \right)\cdot d \right]}{2}[/mm]
>
> Und in Wikipedia: [mm]s_n = \sum_{i=0}^n(i \cdot d + a_0) = a_0 (n+1) + d\, \frac{n(n+1)}{2} = (n+1)\left(a_0 + d\,\frac{n}{2}\right)[/mm]
>
> Nun wollte ich zeigen, dass beide Formeln äquivalent sind.
>
> Dies machte ich folgendermaßen:
> [mm] \[\left( n+1 \right)\cdot \left( {{a}_{0}}+d\frac{n}{2} \right)=\frac{\left( n+1 \right)\cdot \left( 2{{a}_{0}}+d\cdot n \right)}{2}=\frac{n\cdot \left( 2{{a}_{0}}+d\cdot n \right)+\left( 2{{a}_{0}}+d\cdot n \right)}{2}=\frac{2{{a}_{0}}+d{{n}^{2}}+2{{a}_{0}}+{{d}_{n}}}{2}\][/mm]
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> Nun versuchte ich den Term der Summenformel aus meinem
> Skript so umzuformen, wie die umgeformte Wikipediaformel.
> Dabei dachte ich an die Zahlenfolge von 1-100 und kam es
> mir ganz logische vor, dass die Summenformel von Wikipedia
> bei 0 zu addieren begann, die Summenformel aus meinem
> Skript bei 1.
> Also war die Differenz zwischen den Summenformeln doch nur
> das letzte Glied der Reihe aus meinem Skript. Dadurch kam
> ich zur Erkenntnis: Ich setzte bei der Summenformel aus
> meinem Skript für [mm]{{a}_{1}}[/mm] [mm]{{a}_{0}}[/mm] ein und addiere
> [mm]{{a}_{0}}+n\cdot d[/mm] da das n-te Glied einer Folge ja
> [mm]{{a}_{1}}+\left( n-1 \right)\cdot d[/mm] ist.
>
> Mathematisch formuliert:
>
> [mm]\frac{n\cdot \left[ 2{{a}_{0}}+\left( n-1 \right)\cdot d \right]+2\left( {{a}_{0}}+n\cdot d \right)}{2}=\frac{2{{a}_{0}}n+d{{n}^{2}}+2{{a}_{0}}+d\cdot n}{2}[/mm]
>
> Somit ist gezeigt beide Ausdrücke sind äquivalent.
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> Ich dachte jedoch noch darüber nach, wodurch ich mich
> völlig verwirrte. Angenommen [mm]{{a}_{0}}[/mm] ist gößer 0, dann
> würde doch das ganze nicht mehr stimmen, denn wnn ich dann
> das letzte Glied addiere, habe ich immer um da 1. Glied
> zuviel, infolgedessen ich doch das erste Gleid abziehen
> müsste. Würde ich das jedoch machen, würde ich nicht
> mehr [mm]{{a}_{0}}+d\cdot n[/mm] addieren, sondern [mm]d\cdot n[/mm] wodurch
> ich zeigen würde, dass beide Ausdrücke nicht äquivalent
> sind.
>
> Bitte helft mir den Fehler zu finden!
>
Bei Wikipedia beginnt die Reihe mit [mm]a_{0}[/mm],
bei Deinem Skript jedoch mit [mm]a_{1}[/mm].
Sowohl Wikipedia als auch Dein Skript summieren bis zur
Obergrenze [mm]a_{0}+n*d[/mm] bzw. [mm]a_{1}+\left(n-1\right)*d[/mm]
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> Danke
>
> Mit freundlichen Grüßen
>
> Platoniker
>
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:04 Sa 01.01.2011 | | Autor: | Platoniker |
Hallo
Danke für die Antwort. Nach einer kleinen Pause hat sich mein Problem gelöst!
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