Problem: Gruppe, Ring und Körp < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:07 Mi 27.06.2007 | | Autor: | lisi96 |
Hallo! Hab Gruppe, Ring und Körper ausgearbeitet und bin mir bei manchen Sachen nicht sicher ob man das so sagen kann:
Gruppe, wenn gilt:
assoziativ
inverses Element
neutrales Element
kommutativ
abgeschlossen
Halbgruppe, alles wie Gruppe nur das inverse Element fehlt
Ring:
wenn die Menge eine Gruppe ist, es gilt das Distributivgesetz und die Multiplikation ist assoziativ
Körper:
wenn es zwei Gruppen (bezüglich eine bei der Addition und eine bei der Multiplikation) sind und das Distributivgesetz gilt.
oder:
Ring und Eigenschaften der multiplikativen Gruppe besitzen
lg lisi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:15 Mi 27.06.2007 | | Autor: | kochmn |
Hi Lisi,
Eine Menge G, zusammen mit einer binären Verknüpfung * heißt
Gruppe, wenn
* Sie ein neutrales Element e enthält mit a*e=e*a=a für a [mm] \in [/mm] G
* Assoziativ ist.
* Zu jedem a ein inverses Element [mm] a^{-1} [/mm] existiert mit
[mm] a^{-1}*a [/mm] = [mm] a*a^{-1} [/mm] = e
Ist die binäre Verknüpfung überdies kommutativ, so spricht man
von einer abelschen Gruppe.
Eine Menge R, zusammen mit zwei binären Verknüpfungen * und o
heißt Ring, wenn
* R zusammen mit * eine abelsche Gruppe bildet.
* Die Verknüpfung o assoziativ ist
* Distributivität gilt:
x o (y*z) = xoy * xoz
(x*y) o z = xoz * yoz
Der Ring heißt Ring mit Eins, wenn es für o ein neutrales Element gibt.
Der Ring heißt kommutativ, wenn o kommutativ ist.
Eine Menge K mit den Verknüpfungen * und o heißt Körper, wenn
* (K,*) eine abelsche Gruppe bildet
* (K ohne das neutrale Element von *, o) eine abelsche Gruppe bildet.
* Das Distributivgesetz auf K(*,o) anwendbar ist:
x o (y*z) = xoy * xoz
(x*y) o z = xoz * yoz
Sollte o aus irgendwelchen Gründen doch nicht kommutativ sein, so spricht man zumindest noch von einem Schiefkörper.
Liebe Grüße
Markus-Hermann
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