Problem bei Ableitung < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:29 Sa 25.02.2012 | | Autor: | Baruni |
| Aufgabe | | Kurvendiskussion der Funktion f(x)=(x-2)²*e^(-3x²) |
Hallo!
Ich möchte für die angegebene Funktion eine Kurvendiskussion durchführen.
Leider scheitert es aber schon an den Ableitungen.
Ich habe mit der Ketten- und Produktregel folgende 1. Ableitung erhalten:
f'(x)=e^(-3x²)*(-4x-4)+((x-2)²
Ist diese korrekt? Und wie muss ich nun weiter vorgehen, um die 2. und 3. Ableitung zu erhalten? Ich weiß nicht, wie ich hier Ketten- und Produktregel anwenden muss bzw. ob das überhaupt erforderlich ist.
Vielen Dank schon einmal im Voraus für eure Hilfe!
Baruni
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Hallo Baruni,
> Kurvendiskussion der Funktion f(x)=(x-2)²*e^(-3x²)
> Hallo!
> Ich möchte für die angegebene Funktion eine
> Kurvendiskussion durchführen.
> Leider scheitert es aber schon an den Ableitungen.
> Ich habe mit der Ketten- und Produktregel folgende 1.
> Ableitung erhalten:
> f'(x)=e^(-3x²)*(-4x-4)+((x-2)²
Die Ableitung ist nicht ganz korrekt:
[mm]f'\left(x\right)=e^{-3*x^{2}}*}\left( \ \left(x-2\right)^{2} \ \right)'+\left(\ e^{-3*x^{2}} \ \right)' * \left(x-2\right)^{2}[/mm]
Für die Ableitungen der einzelnen Faktoren benutzt Du jetzt die Kettenregel.
(Die Ausdrücke mit dem ')
> Ist diese korrekt? Und wie muss ich nun weiter vorgehen,
> um die 2. und 3. Ableitung zu erhalten? Ich weiß nicht,
> wie ich hier Ketten- und Produktregel anwenden muss bzw. ob
> das überhaupt erforderlich ist.
> Vielen Dank schon einmal im Voraus für eure Hilfe!
> Baruni
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:59 Sa 25.02.2012 | | Autor: | Baruni |
Danke!
Wie man auf die richtige Ableitung kommt, habe ich jetzt verstanden.
Aber wie genau muss ich jetzt weitermachen? Ich verstehe nicht genau, wie die Erklärung gemeint ist.
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Hallo Baruni,
> Danke!
> Wie man auf die richtige Ableitung kommt, habe ich jetzt
> verstanden.
> Aber wie genau muss ich jetzt weitermachen? Ich verstehe
> nicht genau, wie die Erklärung gemeint ist.
Schreibe die erste Ableitung in der Form
[mm]f'\left(x\right)=p\left(x\right)*e^{-3*x^{2}}[/mm]
und differenziere dies wieder.
Dann schreibst Du die zweite Ableitung wieder in der Form
[mm]f''\left(x\right)=q\left(x\right)*e^{-3*x^{2}}[/mm]
und differenzierst dies wiederum.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:14 Sa 25.02.2012 | | Autor: | Baruni |
Mir fällt gerade auf, dass Ihre erste Ableitung eigentlich die gleiche ist wie meine, nur dass ich den Term noch vereinfacht habe. Habe ich beim Vereinfachen einen Fehler gemacht?
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Hallo Baruni,
> Mir fällt gerade auf, dass Ihre erste Ableitung eigentlich
Wir sind hier alle per Du.
> die gleiche ist wie meine, nur dass ich den Term noch
> vereinfacht habe. Habe ich beim Vereinfachen einen Fehler
> gemacht?
Das können wir erst feststellen,
wenn Du Deine Rechenschritte postest.
Gruss
MathePower
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:47 Sa 25.02.2012 | | Autor: | Baruni |
Hier meine Rechenschritte:
f'(x)=u'(x)*v(x)+u(x)*v'(x) [u'(x)=2x-4; v'(x)=-6*e^(-3x²)]
einsetzen:
f'(x)=(2x-4)*e^(-3x²)+(x-2)²*(-6x*e^(-3x²)
<=>f'(x)=e^(-3x²)*(-4x-4)+((x-2)²
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Hallo Baruni,
> Hier meine Rechenschritte:
>
> f'(x)=u'(x)*v(x)+u(x)*v'(x) [u'(x)=2x-4;
> v'(x)=-6*e^(-3x²)]
>
Hier muss doch stehen:[mm]v'=-6*\red{x}*e^{-3x^{2}}[/mm]
> einsetzen:
> f'(x)=(2x-4)*e^(-3x²)+(x-2)²*(-6x*e^(-3x²)
> <=>f'(x)=e^(-3x²)*(-4x-4)+((x-2)²
Das ist Dir beim Zusammenfassen ein Fehler unterlaufen.
Richtig zusammengefasst muss es lauten:
[mm]f'(x)=e^{-3x^2}}*\left( \ (2x-4)-6x*(x-2)^{2} \ \right)[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:49 Sa 25.02.2012 | | Autor: | Baruni |
Ok, jetzt bin ich bei der 2. Ableitung.
Dafür habe ich herausbekommen:
f''(x)=-6x*e^(-3x²)*(-6x³-24x²-22x-4)+e^(-3x²)*(-18x²-48x-24)
Kann ich dieses Ergebnis noch irgendwie vereinfachen? Ich sehe leider nicht, wie.
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Hallo Baruni,
> Ok, jetzt bin ich bei der 2. Ableitung.
> Dafür habe ich herausbekommen:
>
> f''(x)=-6x*e^(-3x²)*(-6x³-24x²-22x-4)+e^(-3x²)*(-18x²-48x-24)
> Kann ich dieses Ergebnis noch irgendwie vereinfachen? Ich
> sehe leider nicht, wie.
So:
[mm]f''(x)=\left( \ -6x*(-6*x^{3}-24x^{2}-22x-4)+(-18*x^{2}-48x-24) \ \right)*e^{-3*x^{2}}[/mm]
Jetzt kannst Du die Klammer ausmultiplizieren.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:22 So 26.02.2012 | | Autor: | Baruni |
Ok, ich habe jetzt folgende Gleichung für die 2. Ableitung erhalten:
(36x^(4)+144x^(3)+132x^(2)+24x)+(-18x²-48x-24)*e^(-3x²)
Als Extremwert konnte ich damit den Tiefpunkt (2|4,31*10^15) bestimmen.
Allerdings ist die Gleichung viel zu sperrig, um jetzt noch eine dritte Ableitung zu bilden, um damit die Wendepunkte bestimmen zu können. Oder habe ich noch etwas übersehen?
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Hallo Baruni,
> Ok, ich habe jetzt folgende Gleichung für die 2. Ableitung
> erhalten:
> (36x^(4)+144x^(3)+132x^(2)+24x)+(-18x²-48x-24)*e^(-3x²)
Die 2. Ableitung muss doch so lauten:
[mm]f''\left(x\right)= \left( \ (36x^{4}\blue{-}144x^{3}+132x^{2}+24x)+(-18x^{2}\blue{+}48x-2\red{2}) \ \right)*e^{-3x^{2}}[/mm]
> Als Extremwert konnte ich damit den Tiefpunkt
> (2|4,31*10^15) bestimmen.
> Allerdings ist die Gleichung viel zu sperrig, um jetzt
> noch eine dritte Ableitung zu bilden, um damit die
> Wendepunkte bestimmen zu können. Oder habe ich noch etwas
> übersehen?
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:43 Fr 02.03.2012 | | Autor: | Baruni |
Danke nochmal für die viele Hilfe. Ich hatte jetzt wieder Mathe, und da meinte unser Lehrer, dass man diese Aufgabe gar nicht weiter lösen kann.
Super, dass du dir so viel Zeit genommen hast!
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