Problem bei Extremwertaufgabe < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:06 Mo 02.11.2009 | | Autor: | smo89 |
| Aufgabe | Der Bogen einer Brücke lässt sich mit folgender Funktion beschreiben:
p:p(x)= [mm] -(1/5)x^2 [/mm] + 2x ; D(p)=[0;10]
Die Brückenkonstruktion soll mit einer Werbetafel versehen werden. Berechnen Sie die Abmessungen der Tafel, wenn die Fläche der Tafel möglichst groß werden soll.
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Meine bisherigen Überlegungen waren:
Ich brauche auf jeden Fall : A=x*y
Damit muss man irgendwie eine neue Funktion aufstellen können, welche man dann ableitet, um das Maximum zu errechnen.
Aber ich bin momentan völlig verwirrt und langsam drängt auch die Zeit =(
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Bitte um Hilfe
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Hallo, die Funktion [mm] f(x)=-\bruch{1}{5}x^{2}+2x [/mm] verschieben wir zunächst und erhalten die Funktion [mm] f(x)=-\bruch{1}{5}x^{2}+5, [/mm] deine Extremwertaufgabe vereinfacht sich dadurch
[Dateianhang nicht öffentlich]
jetzt legen die Werbetafel, ein Rechteck,in die Parabel die Fläche ist A=a*b, die Breite a ist 2x, die Länge b ist f(x), du bekommst
[mm] A(x)=2x*(-\bruch{1}{5}x^{2}+5)
[/mm]
achja, was ist D(p)?
Steffi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:31 Mo 02.11.2009 | | Autor: | smo89 |
Danke schonmal so weit
D(p) ist der definitionsbereich in den das rechteckt soll also da wo die ausgangsfunktion die x achse schneidet. das soll bewirken, dass man sich nur auf den positiven bereich bezieht.
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Hallo, na gut, durch die Verschiebung der Parabel liegt die eine Hälfte vom Rechteck im 2. Quadranten, die andere Hälfte im 1. Quadranten, was die Rechnung aber vereinfacht, setze doch mal den Ansatz aus der 1. Antwort fort, Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:41 Mo 02.11.2009 | | Autor: | smo89 |
ich habe das ganze einfach mal gemacht, ohne den graphen zu verschieben, da ich das gefühl hatte, das geht hier doch ganz gut:
A= x*y
Da die oberen Eckpunkte auf der Parabel liegen, ist y = f(x)
A(x) = [mm] x*(-(1/5)x^2 [/mm] + 2x)
= [mm] -(1/5)x^3+2x^2
[/mm]
A'(x) = [mm] -(3/5)x^2+4x
[/mm]
A'' = -(6/5)x
Ist das so weit richtig ?
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Hallo, möchtes du die Werbetafel in die Parabel [mm] f(x)=-\bruch{1}{5}x^{2}+2x [/mm] legen, so verändert sich aber deine Breite a zu 10-2x, stelle dir mal als Beispiel die Stelle x=1,5 vor, so ist die Breite 10-1,5-1,5=7, die Länge b bleibt f(x), Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:15 Mo 02.11.2009 | | Autor: | smo89 |
Okay, danke. Also wenn ich das jetzt richtig verstanden habe, dann erhalte ich:
A(x) = [mm] (10-2x)*(-(1/5)x^2+2x) [/mm]
Wahrscheinlich das ganze dann ausmultiplizieren (wobei ich gerade etwas schwierigkeiten habe)
A(x) [mm] -(2/5)x^3 [/mm] - [mm] 10/5x^2+4x-10 [/mm] ????
Ist nicht meine Stärke :/
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:31 Mo 02.11.2009 | | Autor: | smo89 |
Ähm, habe nocheinmal neu ausmultipliziert:
[mm] -(2/5)x^3+2x^2-20x
[/mm]
Das andere sah mir so falsch aus...
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Hallo, leider sind die Vorzeichen falsch,
[mm] (10-2x)*(-\bruch{1}{5}x^{2}+2x)
[/mm]
[mm] =-2x^{2}+20x+\bruch{2}{5}x^{3}-4x^{2}
[/mm]
[mm] =\bruch{2}{5}x^{3}-6x^{2}+20x
[/mm]
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:00 Mo 02.11.2009 | | Autor: | smo89 |
Okay, danke das bringt mich schonmal weiter.
Jetzt habe ich das ganze abgelitten:
A' = [mm] (6/5)x^2 [/mm] - 12x
A'' = (12/5)x
A' = 0
0 = [mm] (6/5)x^2 [/mm] - 12x | /(6/5)
0 = [mm] x^2 [/mm] - 10x
-> PQ Formel
x1/2 = 5 +/- 5 => X1= 10 ; X2 = 0
x1/x2 -> p(x) eingesetzt ergibt beides 0
Inwiefern bringt mich dieses Ergebnis weiter bzw. habe ich einen Fehler gemacht ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:03 Mo 02.11.2009 | | Autor: | leduart |
hallo
du arbeitest zu huschig. was ist etwa 20x abgeleitet.?
also deine Ableitung ist falsch.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:05 Mo 02.11.2009 | | Autor: | smo89 |
20x ist doch eine konstante und fällt weg oder ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:10 Mo 02.11.2009 | | Autor: | smo89 |
hm na gut, dann sind die ableitungen wohl:
A' = - 12x + 20
A'' = (12/5)x - 12
ich sitze einfach schon zu lange daran :/
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:12 Mo 02.11.2009 | | Autor: | glie |
> 20x ist doch eine konstante und fällt weg oder ?
$20*x$ kann doch keine Konstante sein!!! Dieser Term liefert doch für verschiedene Belegungen der Variable x auch verschiedene Termwerte!
Die Ableitung von $m*x$ ist einfach $m$.
Gruß Glie
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:24 Mo 02.11.2009 | | Autor: | smo89 |
Also. Das ganze nocheinmal gerechnet:
A' = [mm] (6/5)x^2 [/mm] - 12x + 20
A'' = (12/5)x - 12
A'=0
0= [mm] (6/5)x^2 [/mm] - 12x + 20 | /(6/5)
0= [mm] x^2 [/mm] - 10x + (50/3)
-> PQ
x1/2 = 5 +/- [mm] \wurzel{25-(50/3)} [/mm]
=> x1 = 7,887 ; x2 = 2,113
x1 -> p(x) ergibt 10/3
x2 -> p(x) ergibt ebenfalls 10/3 ???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:34 Mo 02.11.2009 | | Autor: | glie |
> Also. Das ganze nocheinmal gerechnet:
>
> A' = [mm](6/5)x^2[/mm] - 12x + 20
> A'' = (12/5)x - 12
>
> A'=0
> 0= [mm](6/5)x^2[/mm] - 12x + 20 | /(6/5)
> 0= [mm]x^2[/mm] - 10x + (50/3)
>
> -> PQ
>
> x1/2 = 5 +/- [mm]\wurzel{25-(50/3)}[/mm]
>
> => x1 = 7,887 ; x2 = 2,113
>
> x1 -> p(x) ergibt 10/3
> x2 -> p(x) ergibt ebenfalls 10/3 ???
Mach dir nochmal klar, wofür eigentlich in deinem Funktionsterm, der den Flächeninhalt beschreibt, die Variable x steht.
Setzt du deine erhaltenen x-Werte in die Parabelgleichung ein, so erhältst du die Höhe der Werbetafel. Schau dir auch nochmal die Zeichnung an, die Steffi in einer der ersten Antworten gepostet hat.
Gruß Glie
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:36 Mo 02.11.2009 | | Autor: | smo89 |
Ich könnte gerade echt ein bisschen Klartext gebrauchen... Ich sitze seit 7 1/2 stunden an dieser einen Aufgabe und so langsam kann ich nicht mehr...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:46 Mo 02.11.2009 | | Autor: | glie |
Keine Panik, du hast doch die Aufgabe jetzt gelöst.
Also du hast doch zwei x-Werte herausgebracht, ich glaube du hast sie [mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $x_2$ [/mm] genannt.
Deine Werbetafel besteht im Koordinatensystem aus folgenden vier Eckpunkten:
$A(x/0)$
$B(10-x/0)$
$C(10-x/p(10-x))$
$D(x/p(x))$
Das liefert [mm] $x_1$ [/mm] bzw. [mm] $x_2$ [/mm] jeweils die selben vier Punkte, es gilt eben nur [mm] $x_2=10-x_1$
[/mm]
Ist es so verständlich?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 04:41 Di 03.11.2009 | | Autor: | smo89 |
Ja doch hat mir geholfen, vielen dank !
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