Problem mit Grenzwerten < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo zusammen,
dies ist mein erstes Posting hier. Bin mal gespannt, ob ich alles richtig mache 
Also erstmal: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Es geht um ein Übungsblatt zu Mathe für Physiker 1. Thema der Aufgabe ist die Bestimmung von Grenzwerten. Ich weiß leider bei keinem der vier Aufgabenteile so recht, wie ich vorzugehen haben. Ich werde deshalb erstmal einen einzelnen zeigen und sagen, was meine Idee dabei ist. Ich hoffe, ihr könnt mir dann weiterführende Tipps geben, die ich auch auf die übrigen Grenzwerte anwenden kann.
Also:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (x^{-a}*\ln(x)) [/mm] mit a>1
Das [mm] x^{-a} [/mm] habe ich dann durch 1/e^(a*ln(x)) ausgedrückt und das ganze als Reihe geschrieben. Am Ende kommt bei mir dann raus:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{k=0}^{\infty} \bruch {k!*\ln(x)^{1-k}} {a^k}
[/mm]
Ich hoffe jetzt mal nicht, dass ich mich verrechnet habe.
Jetzt habe ich jedenfalls dieses Ergebnis, allerdings weiß ich nicht, wie ich daraus jetzt den Grenzwert ermitteln soll. Geht mein Vorgehen in die richtige Richtung? Welche Tipps könnt ihr mir noch geben?
Achja: L'Hospital hatten wir noch nicht, wir haben eben durchgenommen, dass ln() die Umkehrfunktion von exp() ist.
Ich hoffe mal, ihr könnt mir weiterhelfen. Brauche die Punkte zwar nicht mehr, aber für's Verständnis und die Klausur wär's doch gut.
Danke schonmal!
Gruß,
Doc (und mit der Domain DocSnyder.de hab ich nix zu tun, hab wohl vergessen, das Eingabefeld bei der Anmeldung vollständig zu leeren...)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:08 Sa 15.01.2005 | | Autor: | moudi |
> Hallo zusammen,
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> dies ist mein erstes Posting hier. Bin mal gespannt, ob ich
> alles richtig mache
>
> Also erstmal: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf
> anderen Internetseiten gestellt.
>
> Es geht um ein Übungsblatt zu Mathe für Physiker 1. Thema
> der Aufgabe ist die Bestimmung von Grenzwerten. Ich weiß
> leider bei keinem der vier Aufgabenteile so recht, wie ich
> vorzugehen haben. Ich werde deshalb erstmal einen einzelnen
> zeigen und sagen, was meine Idee dabei ist. Ich hoffe, ihr
> könnt mir dann weiterführende Tipps geben, die ich auch auf
> die übrigen Grenzwerte anwenden kann.
>
> Also:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (x^{-a}*\ln(x))[/mm] mit a>1
Ich nehme mal an, dass es [mm] $\limes_{\mathbf{x}\to\infty}$ [/mm] heissen sollte.
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> Das [mm]x^{-a}[/mm] habe ich dann durch 1/e^(a*ln(x)) ausgedrückt
Das ist keine schlechte Idee.
> und das ganze als Reihe geschrieben. Am Ende kommt bei mir
Bevor du zur Reihe gehts. würde ich die Substitution [mm] $y=\ln(x)$ [/mm] durchführen.
Dann geht auch [mm] $y\to\infty$ [/mm] und der Logarithmus ist verschwunden:
[mm] $\lim_{y\to\infty}e^{-ay}\cdot [/mm] y$
Irgendwie ist bekannt, dass die die Exponentialfunktion [mm] $e^{cx}$ [/mm] mit negativem c schneller gegen Null geht, als jede Potenzfunktion gegen unendlich. Wie man das genau formal zeigt, ist mir gerade entfallen.
> dann raus:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{k=0}^{\infty} \bruch {k!*\ln(x)^{1-k}} {a^k}
[/mm]
>
Das ist leider Falsch! Die ganze Summe müsste im Nenner sein. Du kannst nicht einfach von jedem Summanden den Kehrwert nehmen.
Ich hoffe du kannst damit etwas anfangen.
mfG Moudi
>
> Ich hoffe jetzt mal nicht, dass ich mich verrechnet habe.
>
> Jetzt habe ich jedenfalls dieses Ergebnis, allerdings weiß
> ich nicht, wie ich daraus jetzt den Grenzwert ermitteln
> soll. Geht mein Vorgehen in die richtige Richtung? Welche
> Tipps könnt ihr mir noch geben?
>
> Achja: L'Hospital hatten wir noch nicht, wir haben eben
> durchgenommen, dass ln() die Umkehrfunktion von exp()
> ist.
>
> Ich hoffe mal, ihr könnt mir weiterhelfen. Brauche die
> Punkte zwar nicht mehr, aber für's Verständnis und die
> Klausur wär's doch gut.
>
> Danke schonmal!
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> Gruß,
> Doc (und mit der Domain DocSnyder.de hab ich nix zu tun,
> hab wohl vergessen, das Eingabefeld bei der Anmeldung
> vollständig zu leeren...)
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Hallo moudi,
danke erstmal für die schnelle Antwort!
> Irgendwie ist bekannt, dass die die Exponentialfunktion
> e^cx mit negativem c schneller gegen Null geht, als jede
> Potenzfunktion gegen unendlich. Wie man das genau formal
> zeigt, ist mir gerade entfallen.
Behaupten dürfte ich das leider nicht einfach so. Hat jemand anderes eine Idee, wie das funktionieren könnte?
[Meine Berechnung]
> Das ist leider Falsch! Die ganze Summe müsste im Nenner
> sein. Du kannst nicht einfach von jedem Summanden den
> Kehrwert nehmen.
Hm ja, ist eigentlich logisch . Ich habe jetzt raus:
[mm] \limes_{t\rightarrow\infty} \bruch{1}{ \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{a^k*t^{k-1}}{k!}}=\limes_{t\rightarrow\infty} \bruch{1} {\bruch {1} {t}+1+ \bruch{a^2*t}{2}+...}=0 [/mm] mit [mm] t=\ln(x)
[/mm]
Klingt finde ich ganz gut. Bei a>0 könnte man vielleicht argumentieren, dass wenn man zu 1 unendlich viele kleine Werte aufsummiert, dann geht das gegen [mm] \infty. [/mm] Das ist allerdings finde ich ein bisschen schwammig. Wirklich funktionieren tut es nur für a>=1. Sofern es überhaupt richtig ist . Hat jemand von euch noch Ideen?
Gruß,
Doc
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 04:46 Sa 05.02.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Zu zeigen war ja
[mm] $\lim\limits_{y \to \infty} e^{-ay}y=0$ [/mm] für $a>1$,
was gleichbedeutend ist mit
[mm] $\lim\limits_{y \to \infty} \frac{e^{ay}}{y}= [/mm] + [mm] \infty$.
[/mm]
Dies folgt aber natürlich sofort aus [mm] $e^{ay} [/mm] > [mm] \frac{y^2}{2}$ [/mm] für $y>0$,
unter Beachtung der Exponentialreihe und $a>1$.
Liebe Grüße
Stefan
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