Problem mit Integration < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] \integral_{}^{}{\bruch{cosx+sinx}{1+sinx} dx} [/mm] |
Hallo,
hab so meine Probleme mit diesem Beispiel. Ich schaff's, dank Substitution komm ich auf
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1-u}{1+u} du}.
[/mm]
Leider komm ich ab hier nicht mehr weiter. Ich weiß nicht, ob's dafür irgendeine Umschreibung gibt. Weiters hab ich versucht, dass Ganze nochmals zu substituieren bzw. partiell abzuleiten. Mit beiden Varianten kam ich zu keinem Ergebnis. Dann hab ich mal versucht, das Integral auf Partialbruch zu bringen:
[mm] \bruch{-u^{2}+2u+1}{(u+1)^{2}}
[/mm]
Aber für [mm] u^{2} [/mm] bekomm ich mit Koeffizientenvergleich -1=0 raus, also Widerspruch!
Wie ich auf die Substitution gekommen bin?
--> sinx = [mm] \bruch{2u}{1+u^2}
[/mm]
--> cosx = [mm] \bruch{1-u^{2}}{1+u^{2}}
[/mm]
--> via [mm] sin(2*\bruch{x}{2}) [/mm] berechnet!
Freue mich auf eine Antwort. Gruß, h.
By the way: wie integriert man einen ln(x)?
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Hallo Braunstein!
Die Stammfunktion zu $f(x) \ = \ [mm] \ln(x)$ [/mm] wird gebildet über das Verfahren der partiellen Integration:
[mm] $\integral{\ln(x) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral{\red{1}*\ln(x) \ dx} [/mm] \ = \ ...$
Nun wähle hier $u' \ := \ 1$ sowie $v \ := \ [mm] \ln(x)$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:47 Do 15.03.2007 | | Autor: | Braunstein |
Sonnenklar! Vielen Dank!!! :)
Gruß, brauni
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> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{cosx+sinx}{1+sinx} dx}[/mm]
> Hallo,
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> hab so meine Probleme mit diesem Beispiel. Ich schaff's,
> dank Substitution komm ich auf
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1-u}{1+u} du}.[/mm]
Hallo Hannes,
mal vorausgesetzt, das stimmt, kannst du das Integral tatsächlich etwas umschreiben:
[mm] \integral{\bruch{1-u}{1+u} du}=\integral{\bruch{1+u-2u}{1+u}du}=\integral{\left(\bruch{1+u}{1+u}-\bruch{2u}{1+u}\right)du}=\integral{1du}-2\integral{\bruch{u}{1+u}du}
[/mm]
[mm] =u-2\integral{\bruch{u+1-1}{1+u}du}=u-2\left[\integral{\left(1-\bruch{1}{1+u}du}\right)\right]=......
[/mm]
Kommste damit weiter?
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:04 Do 15.03.2007 | | Autor: | Braunstein |
Ja, vielen Dank!!!
Gruß, h.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:50 Do 15.03.2007 | | Autor: | Mary15 |
> > [mm]\integral_{}^{}{\bruch{cosx+sinx}{1+sinx} dx}[/mm]
> > Hallo,
> >
> > hab so meine Probleme mit diesem Beispiel. Ich schaff's,
> > dank Substitution komm ich auf
> >
> > [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1-u}{1+u} du}.[/mm]
>
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> Hallo Hannes,
>
> mal vorausgesetzt, das stimmt, kannst du das Integral
> tatsächlich etwas umschreiben:
>
> [mm]\integral{\bruch{1-u}{1+u} du}=\integral{\bruch{1+u-2u}{1+u}du}=\integral{\left(\bruch{1+u}{1+u}-\bruch{2u}{1+u}\right)du}=\integral{1du}-2\integral{\bruch{u}{1+u}du}[/mm]
>
> [mm]=u-2\integral{\bruch{u+1-1}{1+u}du}=u-2\left[\integral{\left(1-\bruch{1}{1+u}du}\right)\right]=......[/mm]
>
>
Hallo,
es geht einfacher:
[mm] \integral{\bruch{1-u}{1+u} du}= -\integral{\bruch{u+1-2}{1+u} du}= -\integral{(1-\bruch{2}{1+u})du}=-u+2ln|1+u|
[/mm]
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