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Guten Morgen zusammen,
ich habe ein Problem bei dem ich irgendwie total auf dem Schlauch stehe, deshalb versuche mal mir ein wenig Hilfe zu holen. ;)
Gegeben sind zwei kartesische Punkte in 3D: P = [mm] (x_{1},y_{1},z_{1}) [/mm] sowie Q = [mm] (x_{2},y_{2},z_{2}).
[/mm]
Der Punkt P wird nun durch einen Zufallsprozess verändern, wobei die maximale Veränderung bei 25 Einheiten in jeder Dimension (und Richtung) liegt.
Sei also z.B. zu Beginn: P = (50,40,30) ,dann ist folgenden nach dem Zufallsprozess möglich: P = ([25,75], [15, 65], [5, 55]). Nun möchte ich alle Möglichkeiten für Q ermitteln, sodass sich Q ebenfalls maximal um 25 Einheiten in jener Dimension (und Richtung) verändert, aber die Distanz von P und Q gleich der anfänglichen ist.
Dazu habe ich mir nun überlegt, dass ich den Vektor [mm] \overline{PQ} [/mm] in Kugelkoordinaten überführe. In Kugelkoordinaten sollte für alle möglichen Punkte für Q gelten, dass:
Q.r = [mm] \overline{PQ}.r
[/mm]
Durch Variation von [mm] \overline{PQ}.phi [/mm] sowie [mm] \overline{PQ}.rho [/mm] sollte ich dann alle Möglichkeiten für Q erhalten. Doch wie komme ich zu der Einschränkung, dass sich Q maximal um 25 Einheiten in jeder Dimension ändert? Ich denke ich muss [mm] \overline{PQ}.phi [/mm] und [mm] \overline{PQ}.rho [/mm] in Abhängigkeit von [mm] \overline{PQ}.r [/mm] einschränken, doch da komme ich nicht weiter.
Jemand ne Idee?
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Danke im Voraus,
bijection
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> Gegeben sind zwei kartesische Punkte in 3D: P =
> [mm](x_{1},y_{1},z_{1})[/mm] sowie Q = [mm](x_{2},y_{2},z_{2}).[/mm]
> Der Punkt P wird nun durch einen Zufallsprozess
> verändern, wobei die maximale Veränderung bei 25
> Einheiten in jeder Dimension (und Richtung) liegt.
>
> Sei also z.B. zu Beginn: P = (50,40,30) ,dann ist folgenden
> nach dem Zufallsprozess möglich: P = ([25,75], [15, 65],
> [5, 55]). Nun möchte ich alle Möglichkeiten für Q
> ermitteln, sodass sich Q ebenfalls maximal um 25 Einheiten
> in jener Dimension (und Richtung) verändert, aber die
> Distanz von P und Q gleich der anfänglichen ist.
>
> Dazu habe ich mir nun überlegt, dass ich den Vektor
> [mm]\overline{PQ}[/mm] in Kugelkoordinaten überführe. In
> Kugelkoordinaten sollte für alle möglichen Punkte für Q
> gelten, dass:
> Q.r = [mm]\overline{PQ}.r[/mm]
>
> Durch Variation von [mm]\overline{PQ}.phi[/mm] sowie
> [mm]\overline{PQ}.rho[/mm] sollte ich dann alle Möglichkeiten für
> Q erhalten. Doch wie komme ich zu der Einschränkung, dass
> sich Q maximal um 25 Einheiten in jeder Dimension ändert?
> Ich denke ich muss [mm]\overline{PQ}.phi[/mm] und [mm]\overline{PQ}.rho[/mm]
> in Abhängigkeit von [mm]\overline{PQ}.r[/mm] einschränken, doch da
> komme ich nicht weiter.
>
> Jemand ne Idee?
Hallo bijection,
für die Lage des neuen Punktes Q' hast du zwei Bedingungen:
1.) er liegt auf der Oberfläche der Kugel um P' mit dem
Radius [mm] r=\overline{PQ}
[/mm]
2.) er liegt im Inneren des Würfels um Q mit der Kantenlänge 50
Q' muss also in jenem Teilgebiet der Kugeloberfläche liegen,
der durch diesen Würfel aus ihr ausgeschnitten wird.
Rechnerisch hast du also für die Koordinaten von Q' eine
(Kugel-) Gleichung und die 6 (einfachen) Ungleichungen.
"Alle" Möglichkeiten sind also unendlich viele - oder suchst
du z.B. nur die ganzzahligen ?
Könntest du uns vielleicht noch verraten, woher diese etwas
spezielle Art der Aufgabenstellung stammt ?
LG Al-Chw.
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Heyho,
danke für die recht fixe Antwort. Ich benötigte eine (zufällig ausgewählte) kontinuierliche Lösung. Könntest du mir bzgl. der 6 (einfachen) Gleichung auf die Sprünge helfen, ich bin dazu irgendwie einfach nicht in der Lage. ;)
Die Quelle der Aufgabenstellung kann ich dir gerne nennen. Und zwar ist dies ein recht kleiner Teil eines Projekts indem ich versuche menschliche Gelenkwinkelpositionen in Bildern zu verfolgen. Ausgehend von zwei bekannten (mit einander verbundenen) Gelenkwinkel P,Q (z.B. Kopf & Nacken) versuche ich im Folgebild die neue mögliche Positionen für P und Q zu schätzen. Die Schätzungen werden dann mit dem Bild abgeglichen und die beste Schätzung ermittelt.
Lg,
Bijection
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Hallo bijection,
> danke für die recht fixe Antwort. Ich benötigte eine
> (zufällig ausgewählte) kontinuierliche Lösung. Könntest
> du mir bzgl. der 6 (einfachen) Gleichung auf die Sprünge
> helfen, ich bin dazu irgendwie einfach nicht in der Lage.
> ;)
Na, die 6 Ebenengleichungen des betrachteten Würfels mit der Kantenlänge 50 und dem Mittelpunkt Q. Allerdings sind diese nur der Ausgangspunkt. Du brauchst nämlich, wie Al-Chwarizmi schon schrieb, Ungleichungen, um die Bedingung "im Innern des Würfels" darzustellen.
Ich nehme mal ein Q an, sagen wir (70;80;90). Dann sind die Ungleichungen diese:
1) [mm] x\ge{70-25}=45
[/mm]
2) [mm] x\le{70+25}=95
[/mm]
3) [mm] y\ge{80-25}=55
[/mm]
4) [mm] y\le{80+25}=105
[/mm]
5) [mm] z\ge{90-25}=65
[/mm]
6) [mm] z\le{90+25}=115
[/mm]
> Die Quelle der Aufgabenstellung kann ich dir gerne nennen.
> Und zwar ist dies ein recht kleiner Teil eines Projekts
> indem ich versuche menschliche Gelenkwinkelpositionen in
> Bildern zu verfolgen. Ausgehend von zwei bekannten (mit
> einander verbundenen) Gelenkwinkel P,Q (z.B. Kopf & Nacken)
> versuche ich im Folgebild die neue mögliche Positionen
> für P und Q zu schätzen. Die Schätzungen werden dann mit
> dem Bild abgeglichen und die beste Schätzung ermittelt.
Das klingt spannend. Da Du "sprungweise" vorgehst, solltest Du die Sprünge möglichst klein wählen, um eine kontinuerliche Bewegung zu modellieren.
Grüße
reverend
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Heyho reverend,
> Na, die 6 Ebenengleichungen des betrachteten Würfels mit
> der Kantenlänge 50 und dem Mittelpunkt Q. Allerdings sind
> diese nur der Ausgangspunkt. Du brauchst nämlich, wie
> Al-Chwarizmi schon schrieb, Ungleichungen, um die Bedingung
> "im Innern des Würfels" darzustellen.
>
> Ich nehme mal ein Q an, sagen wir (70;80;90). Dann sind die
> Ungleichungen diese:
>
> 1) [mm]x\ge{70-25}=45[/mm]
> 2) [mm]x\le{70+25}=95[/mm]
> 3) [mm]y\ge{80-25}=55[/mm]
> 4) [mm]y\le{80+25}=105[/mm]
> 5) [mm]z\ge{90-25}=65[/mm]
> 6) [mm]z\le{90+25}=115[/mm]
Die Bedingungen im kartesischen sind mir natürlich klar, nur würde ich diese gerne schon in Kugelkoordinaten formulieren. Entsprechend müsste ich dort doch Bedingungen an die zu wählenden Winkel stellen, oder? Wie würden denn diese i.A. aussehen?
> Das klingt spannend. Da Du "sprungweise" vorgehst, solltest
> Du die Sprünge möglichst klein wählen, um eine
> kontinuerliche Bewegung zu modellieren.
Spannend ist es auch wirklich. Die Sprünge möglichst klein zu wählen ist dabei nicht notwendig, da ich obigen Prozess nicht nur einmal sondern beliebig oft durchführe. Das allgemeine Verfahren ist als Partikelfilter oder auch Monte-Carlo-Simulation bekannt. Habe ich die Koordinaten des Kopfes zu einem Zeitpunkt so schätze ich "zufällig" beliebig viele Positionen des Kopfes im Folgezeitpunkt. Die von mir gewählten 25 Einheiten spiegeln somit das Maximum der Veränderung zwischen zwei aufanderliegenden Zeitpunkten wieder und sind als Richtwert zur Zeit recht sinnvoll. ;)
Mfg,
bijection
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> Heyho reverend,
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> > Na, die 6 Ebenengleichungen des betrachteten Würfels mit
> > der Kantenlänge 50 und dem Mittelpunkt Q. Allerdings sind
> > diese nur der Ausgangspunkt. Du brauchst nämlich, wie
> > Al-Chwarizmi schon schrieb, Ungleichungen, um die Bedingung
> > "im Innern des Würfels" darzustellen.
> >
> > Ich nehme mal ein Q an, sagen wir (70;80;90). Dann sind die
> > Ungleichungen diese:
> >
> > 1) [mm]x\ge{70-25}=45[/mm]
> > 2) [mm]x\le{70+25}=95[/mm]
> > 3) [mm]y\ge{80-25}=55[/mm]
> > 4) [mm]y\le{80+25}=105[/mm]
> > 5) [mm]z\ge{90-25}=65[/mm]
> > 6) [mm]z\le{90+25}=115[/mm]
>
> Die Bedingungen im kartesischen sind mir natürlich klar,
> nur würde ich diese gerne schon in Kugelkoordinaten
> formulieren. Entsprechend müsste ich dort doch Bedingungen
> an die zu wählenden Winkel stellen, oder? Wie würden denn
> diese i.A. aussehen?
Ja, das wird halt ein bisschen aufwändig. Es fragt sich
aber, ob der Aufwand wirklich nötig ist.
Da du ja ohnehin Monte-Carlo-Methoden einsetzt, sehe
ich nicht so recht, weshalb du dann auch noch eine
analytische Lösung willst. Du kannst doch Punkte in
Polarkoordinaten "erwürfeln", die dann in rechtwinklige
Koordinaten umrechnen und diejenigen verwerfen,
die nicht im Würfel liegen.
> Das allgemeine Verfahren ist als Partikelfilter oder auch
> Monte-Carlo-Simulation bekannt.
Das Motto von MC-Methoden ist doch eigentlich
"Probieren geht über Studieren" !
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:41 Mi 16.11.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo bijection,
wir haben in alle in Monte Carlo schon einmal einen Kaffee getrunken. Versuchsweise jedenfalls. 
Wieso müssen es denn unbedingt Kugelkoordinaten sein? Die sind hier kein bisschen praktischer als die kartesischen, allerdings auch nicht sehr viel unpraktischer. Die Umrechnung geht aber auch wie sonst - deswegen verstehe zumindest ich den Sinn der Frage nicht wirklich.
> > Heyho reverend,
Hohoho! *Santamodus_off*
Ähem.
lg
rev
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> Wieso müssen es denn unbedingt Kugelkoordinaten sein? Die
> sind hier kein bisschen praktischer als die kartesischen,
> allerdings auch nicht sehr viel unpraktischer. Die
> Umrechnung geht aber auch wie sonst - deswegen verstehe
> zumindest ich den Sinn der Frage nicht wirklich.
Aus theoretischen Gesichtspunkten sehe ich ein, dass die Einschränkungen in Kugelkoordinaten genauso praktisch wie in kartesischer Koordinaten sind. Im Rahmen einer Implementation sehe ich das im Hinblick auf dessen Berechnungsdauer jedoch nicht so.
In Pseudo-Code sähe das Verfahren unter Verwendung kartesischer Koordinaten für einen Partikel in etwa so aus:
P = [mm] (x_1, y_1, z_1);
[/mm]
Q = [mm] (x_2, y_2, z_2);
[/mm]
I = [mm] \{x,y,z | x_2-25>x>x_2+25, y_2-25>y>y_2+25, z_2-25>z>z_2+25\}
[/mm]
[mm] \overline{PQ} [/mm] = [mm] \wurzel{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2 + (z_1 - z_2)^2}
[/mm]
[mm] \overline{PQ}_{polar} [/mm] = [mm] KartesischInPolar(\overline{PQ})
[/mm]
[mm] P_{neu} [/mm] = [mm] (rand(-25,25)+x_1, rand(-25,25)+y_1, rand(-25,25)+z_1)
[/mm]
[mm] while(Q_{neu} \not\in [/mm] I) {
[mm] \overline{PQ}_{polar}.phi [/mm] = [mm] rand(0,2\pi)+\overline{PQ}_{polar}.phi
[/mm]
[mm] \overline{PQ}_{polar}.rho [/mm] = [mm] rand(0,2\pi)+\overline{PQ}_{polar}.rho
[/mm]
[mm] \overline{PQ}_{neu} [/mm] = [mm] PolarInKartesisch(\overline{PQ}_{polar})
[/mm]
[mm] Q_{neu} [/mm] = [mm] P_{neu} [/mm] + [mm] \overline{PQ}_{neu}
[/mm]
}
Das Problem, was ich nun sehe, ist das die Menge der Punkte die auf der Oberfläche der Kugel auf [mm] P_{neu} [/mm] mit Radius [mm] \overline{PQ} [/mm] und sich zudem im Würfel mit Kantenlänge 50 und Mittelpunkt Q befinden, in Relation zu allen Punkten auf der Oberfläche der Kugel sehr sehr klein ist. Entsprechend würde obige Schleife eine enorme Laufzeit in Anspruch nehmen ehe sie terminiert.
Genau hier sehe ich dann den Vorteil der Formulierung der Bedingungen in Kugelkoordinaten. Meiner Meinung nach müsste ich analytisch [mm] \overline{PQ}_{polar}.phi [/mm] und [mm] \overline{PQ}_{polar}.rho [/mm] auf ein Intervall einschränken können, sodass ich in jedem Fall mit [mm] Q_{neu} [/mm] in dem Würfel lande und somit die Schleife nicht benötige bzw. nur einmal durchlaufe. Das Intervall für die beiden Winkel müsste dabei denk ich irgendwie von [mm] \overline{PQ} [/mm] abhängen.
Irgendwelche Vorschläge oder Korrekturen? ;)
MfG,
bijection
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Do 24.11.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Uups. Da hab ich wohl die Fälligkeitseinstellungen übersehen. ;)
Die obige Frage steht immernoch im Raum und ich bin natürlich weiterhin an Anregungen interessiert! Der Vollständigkeit halber hier nochmal:
> Wieso müssen es denn unbedingt Kugelkoordinaten sein? Die
> sind hier kein bisschen praktischer als die kartesischen,
> allerdings auch nicht sehr viel unpraktischer. Die
> Umrechnung geht aber auch wie sonst - deswegen verstehe
> zumindest ich den Sinn der Frage nicht wirklich.
Aus theoretischen Gesichtspunkten sehe ich ein, dass die Einschränkungen in Kugelkoordinaten genauso praktisch wie in kartesischer Koordinaten sind. Im Rahmen einer Implementation sehe ich das im Hinblick auf dessen Berechnungsdauer jedoch nicht so.
In Pseudo-Code sähe das Verfahren unter Verwendung kartesischer Koordinaten für einen Partikel in etwa so aus:
P = [mm] (x_1, y_1, z_1);
[/mm]
Q = [mm] (x_2, y_2, z_2);
[/mm]
I = [mm] \{x,y,z | x_2-25>x>x_2+25, y_2-25>y>y_2+25, z_2-25>z>z_2+25\}
[/mm]
[mm] \overline{PQ} [/mm] = [mm] \wurzel{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2 + (z_1 - z_2)^2}
[/mm]
[mm] \overline{PQ}_{polar} [/mm] = [mm] KartesischInPolar(\overline{PQ})
[/mm]
[mm] P_{neu} [/mm] = [mm] (rand(-25,25)+x_1, rand(-25,25)+y_1, rand(-25,25)+z_1)
[/mm]
[mm] while(Q_{neu} \not\in [/mm] I) {
[mm] \overline{PQ}_{polar}.phi [/mm] = [mm] rand(0,2\pi)+\overline{PQ}_{polar}.phi
[/mm]
[mm] \overline{PQ}_{polar}.rho [/mm] = [mm] rand(0,2\pi)+\overline{PQ}_{polar}.rho
[/mm]
[mm] \overline{PQ}_{neu} [/mm] = [mm] PolarInKartesisch(\overline{PQ}_{polar})
[/mm]
[mm] Q_{neu} [/mm] = [mm] P_{neu} [/mm] + [mm] \overline{PQ}_{neu}
[/mm]
}
Das Problem, was ich nun sehe, ist das die Menge der Punkte die auf der Oberfläche der Kugel auf [mm] P_{neu} [/mm] mit Radius [mm] \overline{PQ} [/mm] und sich zudem im Würfel mit Kantenlänge 50 und Mittelpunkt Q befinden, in Relation zu allen Punkten auf der Oberfläche der Kugel sehr sehr klein ist. Entsprechend würde obige Schleife eine enorme Laufzeit in Anspruch nehmen ehe sie terminiert.
Genau hier sehe ich dann den Vorteil der Formulierung der Bedingungen in Kugelkoordinaten. Meiner Meinung nach müsste ich analytisch [mm] \overline{PQ}_{polar}.phi [/mm] und [mm] \overline{PQ}_{polar}.rho [/mm] auf ein Intervall einschränken können, sodass ich in jedem Fall mit [mm] Q_{neu} [/mm] in dem Würfel lande und somit die Schleife nicht benötige bzw. nur einmal durchlaufe. Das Intervall für die beiden Winkel müsste dabei denk ich irgendwie von [mm] \overline{PQ} [/mm] abhängen.
Irgendwelche Vorschläge oder Korrekturen? ;)
MfG,
bijection
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Fr 02.12.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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