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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:51 Mi 05.09.2007 | | Autor: | MasterEd |
| Aufgabe | Ein Käfig hat drei abtrennnte Bereiche A, B und C. In dem Käfig werden Mäuse ausgesetzt (50 in A und je 25 in B und C). Durch Klapptüren (teilweise einseitig) sind nur folgende Wanderungen in dem Käfig möglich:
A->B, B->C, C->B
Aus Erfahrung weiß man, dass eine Maus in A innerhalb einer Stunde mit einer Wahrscheinlichkeit von 20% nach B wechselt. Von den Mäusen in B wechselt etwa die Hälfte in einer Stunde nach C, von den Mäusen in C wechseln 30% in einer Stunde nach B.
a) Stellen Sie die Übergangsmatrix des Prozesses auf.
b) Wie ist die zu erwartende Verteilung der Mäuse nach einer Stunde? |
Hallo,
aus der Aufgabenstellung habe ich folgende Daten überlegt:
A->A 80%
A->B 20%
A->C 0%
B->A 0%
B->B 50%
B->C 50%
C->A 0%
C->B 30%
C->C 70%
Daraus habe ich diese Übergangsmatrix aufgestellt:
A = [mm] \pmat{ 0.8 & 0.2 & 0 \\ 0 & 0.5 & 0.5 \\ 0 & 0.3 & 0.7 }
[/mm]
Als Anfangsverteilung habe ich:
[mm] \vec{x_0}=\pmat{50\\ 25\\ 25}
[/mm]
Mein Problem ist nun das folgende:
Wenn ich [mm] \vec{x_1}=A*\vec{x_0} [/mm] rechne, erhalte ich
[mm] \vec{x_1}=\pmat{45\\ 25\\ 25}
[/mm]
Also sind 5 Mäuse verschwunden und die Übergänge aus den Käfigen B und C wurden wahrscheinlich nicht berücksichtigt!
Wenn ich aber statt mit A mit A transponiert rechne, dann funktioniert es. Aber wir haben es so gelernt, dass (bildhaft gesprochen) links der Matrix A der "von"-Bereich steht, während über A der "nach"-Bereich steht. Also: VON A NACH B gehen 20% der Mäuse aus A, deswegen steht die 0.2 in der ersten Zeile von A in der zweiten Spalte und eben nicht in der ersten Spalte und der zweiten Zeile.
Demnach kann es eigentlich nicht sein, dass man mit der Transponierten rechnen muss, aber mit der nichttransponierten verschwinden Tiere. Was ist mein Fehler?
Vielen Dank für Eure Hilfe! Ich habe diese Frage nirgendwo sonst gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:17 Do 06.09.2007 | | Autor: | Blech |
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> Daraus habe ich diese Übergangsmatrix aufgestellt:
> A = [mm]\pmat{ 0.8 & 0.2 & 0 \\ 0 & 0.5 & 0.5 \\ 0 & 0.3 & 0.7 }[/mm]
>
> Als Anfangsverteilung habe ich:
> [mm]\vec{x_0}=\pmat{50\\ 25\\ 25}[/mm]
>
> Mein Problem ist nun das folgende:
> Wenn ich [mm]\vec{x_1}=A*\vec{x_0}[/mm] rechne, erhalte ich
> [mm]\vec{x_1}=\pmat{45\\ 25\\ 25}[/mm]
> Also sind 5 Mäuse
> verschwunden und die Übergänge aus den Käfigen B und C
> wurden wahrscheinlich nicht berücksichtigt!
>
> Wenn ich aber statt mit A mit A transponiert rechne, dann
> funktioniert es. Aber wir haben es so gelernt, dass
> (bildhaft gesprochen) links der Matrix A der "von"-Bereich
> steht, während über A der "nach"-Bereich steht. Also: VON A
> NACH B gehen 20% der Mäuse aus A, deswegen steht die 0.2 in
> der ersten Zeile von A in der zweiten Spalte und eben nicht
> in der ersten Spalte und der zweiten Zeile.
Dann mußt Du alles transponiert rechnen. Soll heißen [mm] x_i [/mm] sind Zeilenvektoren und die Gleichung lautet [mm]x_1 = x_0\cdot A[/mm].
> Demnach kann es eigentlich nicht sein, dass man mit der
> Transponierten rechnen muss, aber mit der
> nichttransponierten verschwinden Tiere. Was ist mein
> Fehler?
Wenn Du das ganze mal rein logisch angehst, muß jeder Koeffizient von [mm] x_0 [/mm] mit einer Zeile/Spalte von A multipliziert werden, deren Summe 1 ist.
Denn ein Koeffizient von [mm] x_0 [/mm] repräsentiert eine Anzahl an Mäusen, und diese können ja nicht verschwinden oder sich plötzlich vermehren (naja, wenn man ihnen etwas Zeit läßt... =)
d.h.
[mm]x_0 := c = \vektor{c_1 & c_2 & c_3};\quad x_1 := d = \vektor{d_1& d_2& d_3};\quad A:=\vektor{a_1 \\ a_2 \\ a_3}[/mm]
[mm]c A = c_1 a_1 + c_2 a_2 + c_3 a_3[/mm]
die Population [mm] c_1 [/mm] verteilt sich gemäß [mm] a_1 [/mm] über die drei Käfige, [mm] c_2 [/mm] gemäß [mm] a_2, [/mm] etc.
Wäre nun [mm]\parallel a_i \parallel_1 \neq 1[/mm], so wäre nicht gesichert, daß die Anzahl der Mäuse gleichbleibt. Da durch die Konstruktion diese Eigenschaft immer nur für Spalten oder Zeilen gesichert ist, mußt Du dementsprechend von links oder von rechts multiplizieren.
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