Problem mit Quotientenkriteriu < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] a_{n}:=\bruch{\wurzel[n]{n}}{n!}
[/mm]
Zeigen Sie durch das Quotientenkriterium, dass [mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_{n} [/mm] konvergent ist. |
Hallo,
das QK ist so definert:
[mm] |\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}|
[/mm]
Wenn ich das entsprechende [mm] a_{n} [/mm] einsetze sieht das so aus:
(Da [mm] a_{n} [/mm] immer positiv ist lasse ich den Betrag weg)
[mm] \bruch{\wurzel[n+1]{n+1}}{(n+1)!}*\bruch{(n)!}{\wurzel[n]{n}}
[/mm]
[mm] =\bruch{\wurzel[n+1]{n+1}}{n!(n+1)}*\bruch{(n)!}{\wurzel[n]{n}}
[/mm]
[mm] =\bruch{\wurzel[n+1]{n+1}}{(n+1)*\wurzel[n]{n}}
[/mm]
Wie mache ich jetzt am besten weiter...
Kann mir jemand ein Tipp geben :)
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Hallo Herumalberer, 
Du bist doch fast fertig.
> [mm]a_{n}:=\bruch{\wurzel[n]{n}}{n!}[/mm]
> Zeigen Sie durch das Quotientenkriterium, dass
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} a_{n}[/mm] konvergent ist.
> Hallo,
>
> das QK ist so definert:
> [mm]|\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}|[/mm]
Na, da gehört noch ein bisschen mehr dazu. Z.B. eine Grenzwertbildung für [mm] n\to\infty [/mm] (genauer: eine Aussage für "fast alle" n) sowie ein Wertebereich, für den mit dem Kriterium überhaupt eine Entscheidung zu treffen ist.
> Wenn ich das entsprechende [mm]a_{n}[/mm] einsetze sieht das so
> aus:
> (Da [mm]a_{n}[/mm] immer positiv ist lasse ich den Betrag weg)
>
> [mm]\bruch{\wurzel[n+1]{n+1}}{(n+1)!}*\bruch{(n)!}{\wurzel[n]{n}}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{\wurzel[n+1]{n+1}}{n!(n+1)}*\bruch{(n)!}{\wurzel[n]{n}}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{\wurzel[n+1]{n+1}}{(n+1)*\wurzel[n]{n}}[/mm]
>
> Wie mache ich jetzt am besten weiter...
>
> Kann mir jemand ein Tipp geben :)
Akkusativ: einen!
Wenn Du Spaß dran hast, kannst Du noch zeigen, dass [mm] \wurzel[n]{n}>\wurzel[n+1]{n+1} [/mm] ist. Nötig ist das hier aber nicht.
Für [mm] n\to\infty [/mm] gehen beide Wurzeln gegen 1 und damit der gesamte Bruch gegen 0.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:47 Fr 23.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]a_{n}:=\bruch{\wurzel[n]{n}}{n!}[/mm]
> Zeigen Sie durch das Quotientenkriterium, dass
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} a_{n}[/mm] konvergent ist.
> Hallo,
>
> das QK ist so definert:
> [mm]|\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}|[/mm]
Quatsch. Seit wann ist ein Kriterium ein Term, der zudem keine Aussage
beinhaltet?
Für das QK ist es sinnvoll, sich die obigen Quotienten anzugucken. Zudem:
Ein Kriterium ist KEINE Definition. Achte bitte auf Deine Ausdrucksweise,
sie könnte Dir irgendwann zum Verhängnis werden. Sauberer arbeiten,
bitte!!
Gruß,
Marcel
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Ja sorry, dass ich mich nicht formal korrekt ausgedrückt habe.
Was QK ist weiß ich, genauso wie ihr.
QK:
Wenn [mm]|\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}|[/mm] <1 ist die Reihe konvergent
ISt [mm]|\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}|[/mm] >1 ist die Reihe divergent
für =1 ist keine Aussage möglich.
@reverend: Habe gerade keine Ahnung was mit mir da los war. Ist ja eigentlich echt trivial :D
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:08 Sa 24.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ja sorry, dass ich mich nicht formal korrekt ausgedrückt
> habe.
> Was QK ist weiß ich, genauso wie ihr.
> QK:
> Wenn [mm]|\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}|[/mm] <1 ist die Reihe konvergent
Auch das ist Unsinn. Für wieviele n soll das gelten ? Für eins ? Für 23 n ? Für alle n ? .......
Nimm [mm] a_n=1/n.
[/mm]
Formuliere das Kriterium bitte korrekt.
FRED
> ISt [mm]|\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}|[/mm] >1 ist die Reihe divergent
> für =1 ist keine Aussage möglich.
>
> @reverend: Habe gerade keine Ahnung was mit mir da los war.
> Ist ja eigentlich echt trivial :D
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:03 Sa 24.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ja sorry, dass ich mich nicht formal korrekt ausgedrückt
> habe.
> Was QK ist weiß ich, genauso wie ihr.
> QK:
> Wenn [mm]|\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}|[/mm] <1 ist die Reihe konvergent
> ISt [mm]|\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}|[/mm] >1 ist die Reihe divergent
> für =1 ist keine Aussage möglich.
wie Fred schon sagte: Anscheinend weißt Du's nicht. Es gibt eine
Formulierung mit [mm] $\limsup$ [/mm] (oder eingeschränkter: mit [mm] $\lim$), [/mm] an der
wärst Du schon nahe dran, aber liefest immer noch vorbei.
Wenn es aber eine "für fast alle [mm] $n\,$" [/mm] Formulierung werden sollte, dann
müßte da irgendwie noch, neben der Tatsache, dass das zu erwähnen
wäre, die Existenz einer Zahl [mm] $\ge 0\,$ [/mm] und echt kleiner als [mm] $1\,$ [/mm] gefordert
werden.
Und ja: Ich weiß, was das QK ist und was es besagt. Dass Deine
Formulierung falsch ist, hat Fred ja schon mit [mm] $\sum_n [/mm] 1/n$ begründet.
Gruß,
Marcel
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