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| Aufgabe | | [mm] \integral_{}^{}{\bruch{lnx}{x(ln^{2}x+lnx-6)} dx} [/mm] |
Hallo ihr,
bin mir wieder mal unklar, ob ich nicht einen Topfen gerechnet hab. Das o.a. Integral hab ich laut meiner Rechnung 2x substituiert. Darf man das überhaupt? Hier der Lösungsweg:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{lnx}{x(ln^{2}x+lnx-6)} dx}
[/mm]
--> u=ln(x)
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{u}{u^{2}+u-6} du}
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{u+0.5}{u^{2}+u-6} du}-\integral_{}^{}{\bruch{0.5}{u^{2}+u-6} du}
[/mm]
--> Habe das Integral geteilt:
a)
[mm] \bruch{1}{2}*\integral_{}^{}{\bruch{2u+1}{u^{2}+u-6} du} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}ln|u^2+u-6|
[/mm]
b)
[mm] \bruch{1}{2}*\integral_{}^{}{\bruch{1}{u^{2}+u-6} du}
[/mm]
--> Quadratische Ergänzung ergibt: [mm] (u+0.5)^{2}-6.25
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{(u+0.5)^{2}-6.25} du}
[/mm]
--> a:=6.25
--> [mm] r*\wurzel{a}=(u+0.5) [/mm]
--> [mm] r=\bruch{u+0.5}{\wurzel{a}}
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{\wurzel{a}}{r^{2}a-a} dr}
[/mm]
[mm] -\bruch{1}{2\wurzel{a}}\integral_{}^{}{\bruch{1}{1-r^2} dr}
[/mm]
Danach habe ich rücksubstituiert auf:
r --> u
u --> ln(x)
= [mm] -\bruch{1}{2\wurzel{a}}artanh(\bruch{lnx+0.5}{\wurzel{a}})
[/mm]
Ich glaub, dass hier irgendwo ein Wurm drin ist. Und außerdem weiß ich nicht, ob man so einfach 2 mal substituieren kann.
Ich kann mir schon vorstellen, dass es auch einfacher geht (bitte sagen, wenn dem so ist), aber ich hoff, einer tut sich die Mühe an, und kontrolliert mal meinen Lösungsweg! Lang, aber kreativ ;)
Ich freu mich auf eure Ratschläge!!!
Gruß, h.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:08 So 18.03.2007 | | Autor: | Braunstein |
Noch etwas: Die beiden Integrale hab ich mit Absicht noch nicht addiert (Integral a + Integral b). Beim ersten bin ich mir sehr sicher, dass es stimmt. Beim zweiten aber nicht mehr.
Gruß, h.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:35 So 18.03.2007 | | Autor: | Disap |
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{lnx}{x(ln^{2}x+lnx-6)} dx}[/mm]
> Hallo
Moin.
> ihr,
> bin mir wieder mal unklar, ob ich nicht einen Topfen
> gerechnet hab. Das o.a. Integral hab ich laut meiner
> Rechnung 2x substituiert. Darf man das überhaupt? Hier der
Aber natürlich. Das wird dann nur nervig, falls man später wieder zurücksubstituieren muss.
> Lösungsweg:
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{lnx}{x(ln^{2}x+lnx-6)} dx}[/mm]
> -->
> u=ln(x)
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{u}{u^{2}+u-6} du}[/mm]
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{u+0.5}{u^{2}+u-6} du}-\integral_{}^{}{\bruch{0.5}{u^{2}+u-6} du}[/mm]
>
> --> Habe das Integral geteilt:
>
> a)
> [mm]\bruch{1}{2}*\integral_{}^{}{\bruch{2u+1}{u^{2}+u-6} du}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{2}ln|u^2+u-6|[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") sehr schön gemacht.
> b)
> [mm]\bruch{1}{2}*\integral_{}^{}{\bruch{1}{u^{2}+u-6} du}[/mm]
> -->
> Quadratische Ergänzung ergibt: [mm](u+0.5)^{2}-6.25[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{(u+0.5)^{2}-6.25} du}[/mm]
> -->
> a:=6.25
> --> [mm]r*\wurzel{a}=(u+0.5)[/mm]
Was soll das denn werden? Die Umformung kann ich nicht nachvollziehen. Was hast du da denn gemacht?
Für mich sieht das so aus, als hättest du aus $ [mm] (u+0.5)^{2}-6.25 [/mm] $ die Wurzel gezogen und dann so gerechnet: $(u+0.5) - [mm] \sqrt{6.25} [/mm] = (u+0.5) - [mm] \sqrt{a} \Rightarrow [/mm] (u+0.5) = [mm] r*\sqrt{a}$
[/mm]
Auf den ersten Blick kommt mir das ein bisschen komisch vor.
> --> [mm]r=\bruch{u+0.5}{\wurzel{a}}[/mm]
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{\wurzel{a}}{r^{2}a-a} dr}[/mm]
>
> [mm]-\bruch{1}{2\wurzel{a}}\integral_{}^{}{\bruch{1}{1-r^2} dr}[/mm]
>
> Danach habe ich rücksubstituiert auf:
>
> r --> u
> u --> ln(x)
>
> =
> [mm]-\bruch{1}{2\wurzel{a}}artanh(\bruch{lnx+0.5}{\wurzel{a}})[/mm]
>
> Ich glaub, dass hier irgendwo ein Wurm drin ist. Und
> außerdem weiß ich nicht, ob man so einfach 2 mal
> substituieren kann.
>
> Ich kann mir schon vorstellen, dass es auch einfacher geht
> (bitte sagen, wenn dem so ist), aber ich hoff, einer tut
> sich die Mühe an, und kontrolliert mal meinen Lösungsweg!
> Lang, aber kreativ ;)
Ansonsten dürfte das zweite Integral mit Partialbruchzerlegung zu lösen sein. Oftmals hilft hier $ [mm] \integral_{}^{}{\bruch{u}{u^{2}+u-6} du} [/mm] $ auch eine Polynomdivision, sodass du dann Gliedweise integrieren kannst. Ob es das in diesem Fall auch tut, sehe ich auf den ersten Blick leider nicht. Könntest du ja mal ausprobieren.
>
> Ich freu mich auf eure Ratschläge!!!
>
> Gruß, h.
Gruß, D.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:22 So 18.03.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Braunstein!
Die erste Substitution mit $u \ := \ [mm] \ln(x)$ [/mm] ist absolut korrekt und erforderlich. Anschließend kann man das Integral wesentlich schneller lösen, indem man eine  Partialbruchzerlegung durchführt:
[mm] $\bruch{u}{u^2+u-6} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{u}{(u-2)*(u+3)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{A}{u-2}+\bruch{B}{u+3}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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