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| Aufgabe | | [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{x\wurzel{(x^{3}-0,5)^{2}+0,75}} dx} [/mm] |
Mahlzeit!
Ich hab hier ein teuflisches Integral, dass sich aus meiner Sicht nicht so einfach lösen lässt. Ich hab mir anfangs gedacht, es auf
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{x^{8}-x^{5}+x^{2}}} dx}
[/mm]
umzuformen, aber ich sehr dabei leider nichts Verwertbares. Wie ich auf das Integral gekommen bin?
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{x^{3}-1}{x\wurzel{x^{6}-x^{3}+1}} dx}
[/mm]
Hab es ein wenig umgeformt und auf zwei Integrale aufgeteilt.
Ich hoffe, jemand kann mir helfen.
Freue mich auf eine Antwort.
Gruß, h.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:55 Sa 24.03.2007 | | Autor: | DesterX |
Hallo!
Dein Integral besitzt so keine Stammfunktion - geht es denn evtl. nur darum es irgendwo auszuwerten? Dann könnte man ja numerisch approximieren.
Gruß,
dester
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:50 Sa 24.03.2007 | | Autor: | Braunstein |
Erstmals Danke für die Antwort.
Nein, es stehen keine Intervalle geschrieben, somit soll es ein unbestimmtes Integral auch bleiben. Außer ... gibt's eine Möglichkeit, ein unbestimmtes Integral numerisch zu lösen?
Gruß, h.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:39 Sa 24.03.2007 | | Autor: | Kay_S |
Hi,
Derive kann das Integral auch nicht auflösen, interessanterweise gilt aber
[mm] $\integral_{1}^{\infty}{\bruch{1}{x\sqrt{x^6 - x^3 + 1}} \, dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3}\ln(3)$
[/mm]
Sehr mysteriös.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:11 Sa 24.03.2007 | | Autor: | Kay_S |
Das Integral ist tatsächlich geschlossen lösbar:
[mm] $\integral_{}^{}{\bruch{1}{x\wurzel{x^{6}-x^{3}+1}} \, dx} [/mm] = [mm] \ln(x) [/mm] - [mm] \bruch{1}{3}\ln\left(2\sqrt{x^6 - x^3 + 1} - x^3 + 2\right) [/mm] + C$
Das Ergebnis habe ich nach einigem Experimentieren mit Derive erhalten.
Der genaue Lösungsweg ist mir aber noch unklar (möglicherweise durch Ableiten zu erkennen).
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Hi,
Wie hast du denn rumexperimentiert?
Danke, Stefan.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:23 Sa 24.03.2007 | | Autor: | Kay_S |
Habe verschiedene Substitutionen probiert. Nach der Substitution $z := [mm] \bruch{1}{x}$ [/mm] kann Derive plötzlich eine Stammfunktion ermitteln  .
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:57 Sa 24.03.2007 | | Autor: | riwe |
das ist auch die richtige substitution
[mm] \frac{1}{x}=z\to \frac{dx}{x}=-\frac{dz}{z}
[/mm]
und damit hast du dann
[mm] I=-\integral_{}^{}{\frac{z²\cdot dz}{\sqrt{z^{6}-z³+1}}}
[/mm]
und jetzt führst du noch die substitution [mm]z³=u[/mm] durch und bist am ziel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:08 Sa 24.03.2007 | | Autor: | Kay_S |
Stimmt, weil zufällig der Zähler [mm] $z^2$ [/mm] durch die Substitution verschwindet. Das muß man natürlich erstmal sehen, der direkte Weg $u = [mm] x^3$ [/mm] führt ja nicht zum Ziel.
Gruß,
Kay
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| Aufgabe | | [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{x\wurzel{(x^{3}-0,5)^{2}+0,75}} dx} [/mm] |
Hallo ihr,
klingt ja sehr interessant, die Substitution. Ich hab aber ...
[mm] \frac{1}{x}=z\to \frac{dx}{x}=-\frac{dz}{z}
[/mm]
noch "nie" zuvor gesehen. Ist das eine besondere Art zu substituieren? Hat das was mit komplexe Zahlen zu tun? Wohl weniger, oder?
Freue mich auf eine Antwort.
Gruß, h.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:17 So 25.03.2007 | | Autor: | Braunstein |
Hmmm, eigene Fragen kann man nicht selbst beantworten, oder? Blöd. Naja, egal. Hab das Beispiel nun lösen können. Die Variante mit [mm] z=\bruch{1}{x} [/mm] und [mm] \bruch{dz}{dx} [/mm] war ziemlich gut. Vielen Dank nochmals.
Gruß, h.
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