Probleme mit Substitution < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:31 Do 03.02.2005 | | Autor: | larlib |
Hallo,
ich habe hier folgende Aufgabe:
[mm] \integral_{}^{} {\bruch{x^{2}}{ \wurzel{1+x^{3}}}}
[/mm]
u [mm] =\wurzel{1+x^{3}}
[/mm]
dx= [mm] \bruch{du}{3x^{2}}
[/mm]
Also
[mm] \bruch{x^{2}}{u} [/mm] * [mm] \bruch{du}{3x^{2}}
[/mm]
bis dahin komme ich! PROBLEM : was setzte ich für du ein.
Ist du die Ableitung von [mm] x^{2} [/mm] also 2x?!?
Setzte ich du =2x, kürze ich wahrscheinlich durch [mm] {3x^{2}}.
[/mm]
Kommt [mm] \bruch{2}{3x} [/mm] raus.
Dann
[mm] \bruch{x^{2}}{u} [/mm] * [mm] \bruch{2}{3x}.
[/mm]
Würde heißen:
[mm] \bruch{2}{3x} \integral_{0}^{0} [/mm] { [mm] \bruch{x^{2}}{u}}.
[/mm]
Ist das bis dahin korrekt???
Bräuchte mal nen Feedback.
Danke
larlib
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:24 Do 03.02.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo larlib !!
Da scheint ja wirklich etwas durcheinander geraten zu sein ...
[mm]\integral_{}^{} {\bruch{x^{2}}{ \wurzel{1+x^{3}}} \ dx}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Machen wir das mal ganz langsam:
Die Substitution, die hier zum Ziel führt, lautet: $u \ = \ 1+x^3$
Hier wird nicht nur die Variable x ersetzt, sondern wir müssen auch $dx$ durch $du$ ersetzen.
$\bruch{du}{dx} \ = \ u' \ = \ \left(1+x^3 \right)' \ = \ 3*x^2$
$\Rightarrow$
$dx \ = \ \bruch{du}{3x^2}$
Das setzen wir nun in unser Integral ein:
$\integral_{}^{} {\bruch{x^{2}}{ \wurzel{1+x^{3}}} \ dx}$
$=$
$\integral_{}^{} {\bruch{x^{2}}{ \wurzel{u}} \ \bruch{du}{3x^2}}$
$=$
$\integral_{}^{} {\bruch{x^{2}}{3x^2 * \wurzel{u}} \ du}$
$=$
$\integral_{}^{} {\bruch{1}{3 * \wurzel{u}} \ du}$
$=$
$\bruch{1}{3} * \integral_{}^{} {\bruch{1}{\wurzel{u}} \ du}$
$=$
$\bruch{1}{3} * \integral_{}^{} {u^{- \bruch{1}{2}}} \ du}$
Hier kannst Du nun mit der  Potenzregel die Stammfunktion bilden.
Kommst Du nun alleine weiter?
Anmerkung:
Bei einem bestimmten Integral (also mit Integrationsgrenzen) mußt Du auch diese Grenzen substituieren oder am Ende eine Re-Substitution durchführen (d.h. zurück zu $x$).
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:56 Do 03.02.2005 | | Autor: | larlib |
Hallo Loddar,
[mm] \bruch{1}{3} \cdot{} \integral_{}^{} {u^{- \bruch{1}{2}}} [/mm] du
daraus folgt:
[mm] \bruch{1}{3} \bruch{u^{\bruch{1}{2}}}{ \bruch{1}{2}}
[/mm]
daraus folgt:
[mm] \bruch{u^{\bruch{1}{2}}}{ \bruch{3}{2}}
[/mm]
daraus folgt:
[mm] \bruch {(1+x^{3})^\bruch{1}{2}} {\bruch{3}{2}}
[/mm]
Also das Ergebnis ist dann:
[mm] \integral_{}^{} {\bruch{x^{2}}{ \wurzel{1+x^{3}}} \ dx}=\bruch {(1+x^{3})^\bruch{1}{2}} {\bruch{3}{2}}
[/mm]
Wäre das so korrekt???
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:00 Fr 04.02.2005 | | Autor: | larlib |
Hallo Loddar,
> Ist das Verfahren mit der Substitution nun klarer?
Absolut Oberklar.
Dank dir
Gruß
larlib
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:28 Fr 04.02.2005 | | Autor: | Loddar |
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
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