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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:54 Do 14.05.2015 | | Autor: | Fry |
Hallo zusammen,
es geht um die Produkt-[mm]\sigma[/mm]-Algebra [mm]\mathcal A=\bigotimes_{t\in [0,\infty)}\mathcal B[/mm] . Warum enthält [mm]\mathcal A[/mm] nicht die einelementigen Mengen des [mm]\mathbb R^{[0,\infty)}[/mm]?
Könntet ihr mir da weiterhelfen? Das wäre super :)
Viele Grüße
Christian
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Hiho,
schreiben wir das mal ein bisschen detaillierter auf:
1.) Deine Grundmenge ist [mm] $\IR^{[0,\infty)}$, [/mm] also die Menge aller Funktionen [mm] $f:[0,\infty) \to \IR$
[/mm]
2.) Du betrachtest darauf die Sigma-Algebra $ [mm] \mathcal A=\bigotimes_{t\in [0,\infty)}\mathcal [/mm] B $, wobei ich mal ins Blaue rate, dass [mm] $\mathcal [/mm] B$ die Borel-Sigma-Algebra auf [mm] \IR [/mm] sein soll.
3.) Dann gilt also nach Definition der Produkt-Sigma-Algebra und der Borel-Sigma-Algebra:
$ [mm] \mathcal A=\bigotimes_{t\in [0,\infty)}\mathcal [/mm] B = [mm] \sigma\left(\bigcup_{t \in [0,\infty)}\pi_t^{-1}(\mathcal{B})\right) [/mm] = [mm] \sigma\left(\bigcup_{t\in [0,\infty)}\pi_t^{-1}(\mathcal{E})\right)$
[/mm]
Wobei [mm] \mathcal{E} [/mm] ein Erzeuger der Borel-Sigma-Algebra ist, [mm] \pi^{-1}_t [/mm] die Projektion auf den Zeitpunkt t.
Deine Frage ist nun also, warum für eine Funktion f die Menge $f [mm] \in \IR^{[0,\infty)}$ [/mm] gilt [mm] $\{f\} \not\in \mathcal [/mm] A$?
Soweit korrekt?
Dann überlege dir mal, dass ja folgendes gilt: Für alle [mm] $x\ge [/mm] 0$ ist [mm] $\pi^{-1}(\{x\}) [/mm] = [mm] \{f: f(t) = x\}$
[/mm]
Nun möchtest du eine Funktion eindeutig definieren, sie also an überabzählbar vielen Punkten fixieren. Wie machst du das in einer [mm] $\sigma$-Algebra, [/mm] wo du nur abzählbar viele Mengen vereinigen darfst?
Würdest du zusätzlich fordern, dass f stetig wäre, würde das gehen, aber sonst eben nicht.
Gruß,
Gono
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:41 Fr 15.05.2015 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Christian!
> es geht um die Produkt-[mm]\sigma[/mm]-Algebra [mm]\mathcal A=\bigotimes_{t\in [0,\infty)}\mathcal B[/mm]
> . Warum enthält [mm]\mathcal A[/mm] nicht die einelementigen Mengen
> des [mm]\mathbb R^{[0,\infty)}[/mm]?
Für [mm] $T_0\subseteq[0,\infty)$ [/mm] und [mm] $C\subseteq\IR^{T_0}$ [/mm] sei
[mm] $A_{T_0,C}:=\{f\in\IR^{[0,\infty)}\;|\;f|_{T_0}\in C\}$.
[/mm]
Sei weiter
[mm] $\mathcal{A}':=\{A_{T_0,C}\;|\;T_0\subseteq[0,\infty)\text{ abzählbar},C\subseteq\IR^{T_0}\}$.
[/mm]
Zeige nun:
1. Es gilt [mm] $\mathcal{A}\subseteq\mathcal{A}'$.
[/mm]
2. Für alle [mm] $f\in\IR^{[0,\infty)}$ [/mm] gilt [mm] $\{f\}\notin\mathcal{A}'$.
[/mm]
Dann folgt wie gewünscht [mm] $\{f\}\notin\mathcal{A}$ [/mm] für jedes [mm] $f\in\IR^{[0,\infty)}$.
[/mm]
Zu 1.: Zeige dazu, dass [mm] $\mathcal{A}'$ [/mm] eine Sigma-Algebra auf [mm] $\IR^{[0,\infty)}$ [/mm] ist, die der Bedingung
[mm] $\mathcal{A}'\supseteq\bigcup_{t\in[0,\infty)}\pi_t^{-1}(\mathcal{B})$
[/mm]
genügt (wobei [mm] $\pi_t\colon\IR^{[0,\infty)}\to\IR,\;f\mapsto [/mm] f(t)$ die Projektion auf die Komponente mit Index t bezeichne).
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:47 Sa 16.05.2015 | | Autor: | Fry |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
vielen Dank schonmal für eure Mühen,
werde es mir gleich Mal alles anschauen. Allerdings muss ich gestehen, dass die Aufschreibweise $\mathbb R^{[0,\infty)$
nicht gut war, ich meinte damit das kartesische Produkt $\prod_{t\in [0,\infty)}\mathbb R$ und keine Menge von Funktionen. Entschuldigt.
VG
Fry
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:01 So 17.05.2015 | | Autor: | tobit09 |
> Allerdings muss
> ich gestehen, dass die Aufschreibweise [mm]\mathbb R^{[0,\infty)[/mm]
>
> nicht gut war, ich meinte damit das kartesische Produkt
> [mm]\prod_{t\in [0,\infty)}\mathbb R[/mm] und keine Menge von
> Funktionen. Entschuldigt.
Das ist ohnehin nur eine Notationsfrage:
Ersetzte $f$ durch [mm] $(f_t)_{t\in[0,\infty)}$ [/mm] und $f(t)$ durch [mm] $f_t$.
[/mm]
(Viele definieren das kartesische Produkt [mm] $\prod_{t\in [0,\infty)}\mathbb [/mm] R$ übrigens einfach als die Funktionenmenge [mm] $\IR^{[0,\infty)}$.)
[/mm]
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