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| Aufgabe | a) Folgern Sie aus der charakterisierung von Stetigkeit mittels Netzen:
Zwei Topologien [mm] $\tau$ [/mm] und [mm] $\tau'$ [/mm] auf einer Menge $Z$ sind genau dann gleich, wenn für jedes Netz [mm] (z_\lambda)_{\lambda} [/mm] und jeden Punkt [mm] $z\in [/mm] Z$ gilt:
[mm] $z_\lambda\to [/mm] z$ bzgl. [mm] $\tau\quad\Leftrightarrow\quad z_\lambda\to [/mm] z$ bzgl. [mm] $\tau'$
[/mm]
b) Folgern Sie aus a) und einem Satz aus der Vorlesung (siehe unten): Sein $X$ und $Y$ topologische Räume, deren Topologien durch Metriken [mm] $d_X$ [/mm] und [mm] $d_Y$ [/mm] erzeugt werden, so wird auch die Produkt-Topologie auf [mm] $X\times [/mm] Y$ durch eine Metrik erzeugt. |
Hallo,
ich habe eine Frage zu dieser Aufgabe.
Ich denke die a) konnte ich lösen, aber bei der b) habe ich ein paar Probleme.
zu a)
Ich denke die gemeinte Charakterisierung von Stetigkeit mittels Netzen ist folgender Satz:
Für jede Abbildung $f: [mm] X\to [/mm] Y$ zwischen topologischen Räumen sind äquivalent:
I) $f$ ist stetig
II) für jedes Netz [mm] $(x_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$ [/mm] in $X$ und jedes [mm] $x\in [/mm] X$ gilt:
[mm] $x_\lambda\to x\Rightarrow\quad f(x_\lambda)\to [/mm] f(x)$
Nun gut. Ich zeige beide Richtungen.
[mm] "$\Rightarrow$"
[/mm]
Ist trivial. Wenn die Metriken gleich sind, dann konvergieren auch die gleichen Netze gegen die selben Grenzwerte.
[mm] "$\Leftarrow$"
[/mm]
Es gelte für jedes Netz [mm] $(z_\lambda)_\lambda$ [/mm] und jeden Punkt [mm] $z\in [/mm] Z$, dass [mm] $z_\lambda\to [/mm] z$ bzgl. [mm] $\tau\quad\Leftrightarrow\quad z_\lambda\to [/mm] z$ bzgl. [mm] $\tau'$
[/mm]
Zeige: [mm] $(Z,\tau)$ [/mm] ist gleich $(Z, [mm] \tau')$
[/mm]
Sei [mm] $f:(Z,\tau)\to (Z,\tau')$, $z\to [/mm] z$ eine Abbildung.
Da für alle Netze und alle Punk in $Z$ ein Netz in [mm] $\tau$ [/mm] konvergiert genau dann, wenn es in [mm] $\tau'$ [/mm] konvergiert, gilt
[mm] $z_\lambda\to\lambda$ [/mm] bzgl. [mm] $\tau$ $\Rightarrow$ $z_\lambda\to [/mm] z$ bzgl. [mm] $\tau'$
[/mm]
Oder ausgedrückt mit der Funktion $f$ ist letzteres genau [mm] $f(z\lambda)\to [/mm] f(z)$.
Also ist $f$ stetig.
Daher sind Urbilder offener Mengen wieder offen.
Sei [mm] $U\in\tau'$ [/mm] eine beliebige offene Menge.
Dann ist [mm] $f^{-1}(U)\in\tau$ [/mm] offen.
Und es gilt:
[mm] $f^{-1}(U)=\{z\in Z: f(z)\in U\}=\{z\in Z: z\in U\}=U$ [/mm] da $f$ die Identität ist.
Also enthalten beide topologischen Räume die selben offenen Mengen und sind somit gleich.
Geht das so in Ordnung?
Nun zu b)
Der in der Aufgabenstellung angesprochene Satz ist folgender:
Sei $X$ eine Menge, [mm] $(X_i)_{i\in I}$ [/mm] eine Familie top. Räume und [mm] $p_i: X\to X_i$ [/mm] Abbildungen.
Ein Netz [mm] $(x_\lambda)_\lambda$ [/mm] in $X$ konvergiert bzgl. [mm] $\tau_X$ [/mm] gegen ein [mm] $x\in [/mm] X$ genau dann, wenn [mm] $p_i(x_\lambda)\to\p_i(x)$ [/mm] für jedes [mm] $i\in [/mm] I$.
Zu erst sollte man sich denke ich überlegen, welche Metrik die Topologie auf [mm] $X\times [/mm] Y$ erzeugt.
Wenn [mm] $X=Y=\mathbb{R}$, [/mm] dann bräuchte man die von der euklidischen Norm induzierte Metrik.
Ich schlage also diese Metrik vor:
[mm] $d((x_1,x_2),(y_1,y_2)):=\sqrt{d_{\tau}(x_1,x_2)^2+d_{\tau'}(y_1,y_2)^2}$
[/mm]
Was wäre nun noch zu tun um die Aufgabe zu lösen.
Muss nur noch nachgewiesen werden, dass bezüglich dieser Metrik die Mengen in der Produkt-Topologie offen sind?
Über Hilfe und eine Korrektur würde ich mich sehr freuen.
Vielen Dank im voraus.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:28 Di 26.04.2016 | | Autor: | fred97 |
> a) Folgern Sie aus der charakterisierung von Stetigkeit
> mittels Netzen:
>
> Zwei Topologien [mm]\tau[/mm] und [mm]\tau'[/mm] auf einer Menge [mm]Z[/mm] sind genau
> dann gleich, wenn für jedes Netz [mm](z_\lambda)_{\lambda}[/mm] und
> jeden Punkt [mm]z\in Z[/mm] gilt:
>
> [mm]z_\lambda\to z[/mm] bzgl. [mm]\tau\quad\Leftrightarrow\quad z_\lambda\to z[/mm]
> bzgl. [mm]\tau'[/mm]
>
> b) Folgern Sie aus a) und einem Satz aus der Vorlesung
> (siehe unten): Sein [mm]X[/mm] und [mm]Y[/mm] topologische Räume, deren
> Topologien durch Metriken [mm]d_X[/mm] und [mm]d_Y[/mm] erzeugt werden, so
> wird auch die Produkt-Topologie auf [mm]X\times Y[/mm] durch eine
> Metrik erzeugt.
> Hallo,
>
> ich habe eine Frage zu dieser Aufgabe.
> Ich denke die a) konnte ich lösen, aber bei der b) habe
> ich ein paar Probleme.
>
> zu a)
>
> Ich denke die gemeinte Charakterisierung von Stetigkeit
> mittels Netzen ist folgender Satz:
>
> Für jede Abbildung [mm]f: X\to Y[/mm] zwischen topologischen
> Räumen sind äquivalent:
>
> I) [mm]f[/mm] ist stetig
>
> II) für jedes Netz [mm](x_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}[/mm] in [mm]X[/mm]
> und jedes [mm]x\in X[/mm] gilt:
>
> [mm]x_\lambda\to x\Rightarrow\quad f(x_\lambda)\to f(x)[/mm]
>
>
> Nun gut. Ich zeige beide Richtungen.
>
> "[mm]\Rightarrow[/mm]"
>
> Ist trivial. Wenn die Metriken gleich sind,
Na,na ! Z ist ein topologischer Raum, Z muss kein metrischer Raum sein !
Also so: wenn die Topologien gleich sind, dann ....
> dann
> konvergieren auch die gleichen Netze gegen die selben
> Grenzwerte.
>
> "[mm]\Leftarrow[/mm]"
>
> Es gelte für jedes Netz [mm](z_\lambda)_\lambda[/mm] und jeden
> Punkt [mm]z\in Z[/mm], dass [mm]z_\lambda\to z[/mm] bzgl.
> [mm]\tau\quad\Leftrightarrow\quad z_\lambda\to z[/mm] bzgl. [mm]\tau'[/mm]
>
> Zeige: [mm](Z,\tau)[/mm] ist gleich [mm](Z, \tau')[/mm]
>
> Sei [mm]f:(Z,\tau)\to (Z,\tau')[/mm], [mm]z\to z[/mm] eine Abbildung.
>
> Da für alle Netze und alle Punk in [mm]Z[/mm] ein Netz in [mm]\tau[/mm]
> konvergiert genau dann, wenn es in [mm]\tau'[/mm] konvergiert, gilt
>
> [mm]z_\lambda\to\lambda[/mm] bzgl. [mm]\tau[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]z_\lambda\to z[/mm]
> bzgl. [mm]\tau'[/mm]
>
> Oder ausgedrückt mit der Funktion [mm]f[/mm] ist letzteres genau
> [mm]f(z\lambda)\to f(z)[/mm].
>
> Also ist [mm]f[/mm] stetig.
> Daher sind Urbilder offener Mengen wieder offen.
> Sei [mm]U\in\tau'[/mm] eine beliebige offene Menge.
> Dann ist [mm]f^{-1}(U)\in\tau[/mm] offen.
>
> Und es gilt:
>
> [mm]f^{-1}(U)=\{z\in Z: f(z)\in U\}=\{z\in Z: z\in U\}=U[/mm] da [mm]f[/mm]
> die Identität ist.
>
> Also enthalten beide topologischen Räume die selben
> offenen Mengen und sind somit gleich.
>
> Geht das so in Ordnung?
Ja
>
> Nun zu b)
>
> Der in der Aufgabenstellung angesprochene Satz ist
> folgender:
>
> Sei [mm]X[/mm] eine Menge, [mm](X_i)_{i\in I}[/mm] eine Familie top. Räume
> und [mm]p_i: X\to X_i[/mm] Abbildungen.
>
> Ein Netz [mm](x_\lambda)_\lambda[/mm] in [mm]X[/mm] konvergiert bzgl. [mm]\tau_X[/mm]
> gegen ein [mm]x\in X[/mm] genau dann, wenn [mm]p_i(x_\lambda)\to\p_i(x)[/mm]
> für jedes [mm]i\in I[/mm].
>
>
>
> Zu erst sollte man sich denke ich überlegen, welche Metrik
> die Topologie auf [mm]X\times Y[/mm] erzeugt.
> Wenn [mm]X=Y=\mathbb{R}[/mm], dann bräuchte man die von der
> euklidischen Norm induzierte Metrik.
>
> Ich schlage also diese Metrik vor:
>
> [mm]d((x_1,x_2),(y_1,y_2)):=\sqrt{d_{\tau}(x_1,x_2)^2+d_{\tau'}(y_1,y_2)^2}[/mm]
>
> Was wäre nun noch zu tun um die Aufgabe zu lösen.
Zeige: die von der Metrik d erzeugte Topologie ist gerade die Produkttopologie auf $ [mm] X\times [/mm] Y $
> Muss nur noch nachgewiesen werden, dass bezüglich dieser
> Metrik die Mengen in der Produkt-Topologie offen sind?
Das reicht nicht. Sei $ G [mm] \subseteq X\times [/mm] Y $
Dann ist zu zeigen:
G ist d-offen [mm] \gdw [/mm] G ist ein Element der Produkttopologie.
Aber leichter hast Du es, wenn Du Aufgabenteil a) verwendest. Benutze dabei die Projektionen [mm] $p_X: X\times [/mm] Y [mm] \to [/mm] X$ und [mm] $p_Y: X\times [/mm] Y [mm] \to [/mm] Y$, def. durch
[mm] p_X(x,y):=x [/mm] und [mm] p_Y(x,y):=y.
[/mm]
FRED
>
>
> Über Hilfe und eine Korrektur würde ich mich sehr
> freuen.
> Vielen Dank im voraus.
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> Zeige: die von der Metrik d erzeugte Topologie ist gerade die Produkttopologie auf $ [mm] X\times [/mm] Y $
Wie kann man denn zeigen, dass die Topologie, welche von $d$ erzeugt wird, die Produkttopologie ist?
Ich habe leider das Gefühl als hätten wir nie so richtig definiert, wie die Produkttopologie entsteht.
Wir haben geschrieben:
Seien [mm] $(X,\tau_X), (Y,\tau_Y)$ [/mm] topologische Räume. Die initiale Topologie auf [mm] $X\times [/mm] Y$ bezüglich der Projektionen [mm] $p_X: X\times Y\to [/mm] X$ und [mm] $p_Y: X\times Y\to [/mm] Y$ hat als Basis
[mm] $\{p_X^{-1}(U)\cap p_Y^{-1}(V): U\in\tau_X, V\in\tau_Y\}$, [/mm] ist also die Produkttopologie.
Wenn ich also die Metrik $d$ mit
$ [mm] d((x_1,x_2),(y_1,y_2)):=\sqrt{d_{\tau}(x_1,x_2)^2+d_{\tau'}(y_1,y_2)^2} [/mm] $
unter den genannten Projektionen betrachte, erhalte ich ja einfach wieder die Metriken welche die Topologien auf $X$ und $Y$ erzeugen.
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Kann hier noch jemand weiterhelfen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:13 Do 28.04.2016 | | Autor: | fred97 |
Warum verwendest Du nicht Aufgabenteil a) ?
FRED
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Ich war mir bisher nicht sicher wie, aber wenn ich die Projektionen
[mm] $p_X(x,y)=x$ [/mm] und [mm] $p_Y(x,y)=y$ [/mm] betrachte, dann sind nach a) die Topologien genau dann gleich, wenn für jedes Netz [mm] $(z_\lambda)_\lambda$ [/mm] und jeden Punkt $z$ gilt:
[mm] $z_\lambda\to [/mm] z$ bzgl. [mm] $\tau\Leftrightarrow z_\lambda\to [/mm] z$ bzgl. [mm] $\tau'$
[/mm]
Sei also [mm] $(z_\lambda)_\lambda$ [/mm] ein beliebiges Netz mit [mm] $z_\lambda\to [/mm] z$ bezüglich der von der Metrik [mm] $d_X$ [/mm] erzeugten Topologie.
Dann reduziert sich unter der Projektion
[mm] $p_X(d_X(x_1,x_2), d_Y(y_1, y_2))=d_X(x_1,x_2)$ [/mm] und dann konvergieren die Netze in beiden Topologien gegen den selben Grenzwert.
Also sind die Topologien gleich.
Ist es so gemeint?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:06 Sa 30.04.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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