Produkt aus p-Sylowgruppen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:55 Sa 21.11.2015 | | Autor: | MinLi |
| Aufgabe | | Sei G eine endliche Gruppe mit der Eigenschaft, dass es für jeden Primteiler p von |G| nur eine p-Sylowgruppe gibt. Zeigen Sie, dass G das direkte Produkt seiner p-Sylowgruppen ist. |
Hallo,
es gilt ja nach obiger Aufgabe zu zeigen, dass G = [mm] S_{1} [/mm] x...x [mm] S_{r} [/mm] , mit [mm] S_{1} [/mm] , ..., [mm] S_{r} [/mm] die Sylowgruppen für jedes p.
Da es von jeder p-Sylowgruppe nur eine einzige gibt, ist jede dieser p-Sylowgruppen ein Normalteiler in G.
Außerdem gilt, dass der Schnitt von verschiedenen Sylowgruppen nur das neutrale Element enthält, denn mit [mm] |S_{i}| [/mm] = [mm] p^{k} [/mm] und [mm] |S_{j}| [/mm] = [mm] q^{l} [/mm] gilt [mm] |S_{i} \cap S_{j}| \in [/mm] {1, p, ..., [mm] p^{k}, [/mm] q, ..., [mm] q^{l}} [/mm] und da p und q prim sind folgt schon, dass [mm] |S_{i} \cap S_{j}| [/mm] = 1.
Desweiteren gilt auch noch, dass sich alle Teiler von |G| durch [mm] \produkt_{p prim} p^{ \alpha_{p} } [/mm] darstellen lassen.
Und G [mm] \cong \IZ_{p1^( \alpha_{p1})} [/mm] x ... x [mm] \IZ_{pr^( \alpha_{pr})} [/mm] (*).
Wie kann ich nun zeigen, dass gilt G [mm] \cong S_{1}x...xS_{r}? [/mm] Also ist es möglich von (*) darauf zuschließen? Und wenn ja, wie könnte man das machen?
Ich würde mich über eine kleine Hilfestellung freuen, aber nicht eine vollständige Lösung angeben, ich will die Aufgabe gerne selber lösen so weit es geht.
LG, MinLi
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Deine Zerlegung in [mm] $\IZ/p^\alpha$'s [/mm] ist falsch. $G$ muss keineswegs abelsch oder gar zyklisch sein.
Zeige zunächst allgemein: Sind [mm] $H,K\trianglelefteq [/mm] G$ beides Normalteiler, welche sich trivial schneiden, so ist [mm] $H\times K\xlongrightarrow{\cdot} [/mm] HK$ ein Isomorphismus.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:20 Sa 21.11.2015 | | Autor: | MinLi |
> ... so ist [mm]H\times K\xlongrightarrow{\cdot} HK[/mm]
> ein Isomorphismus.
Ich verstehe nicht genau was du damit meinst, also um welche Abbildung es geht.
Meintest du die Abbildung HxK [mm] \to [/mm] HK ?
LG, MinLi
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Hallo,
ja, da gab es TeX-Salat. Ich meine die Multiplikationsabbildung [mm] $H\times K\longrightarrow [/mm] HK$.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:36 So 22.11.2015 | | Autor: | MinLi |
Hallo,
ich zeige zuerst, dass [mm] \phi [/mm] : HxK [mm] \to [/mm] HK bijektiv ist.
Nach Konstruktion von [mm] \phi [/mm] gibt es zu jedem g [mm] \in [/mm] HK wenigstens ein Element aus H und eins aus K, sonst wäre g [mm] \not\in [/mm] HK [mm] \Rightarrow \phi [/mm] ist surjektiv.
Da H, G Gruppen sind die sich nur trivial schneiden folgt, dass für jedes h [mm] \in [/mm] H, h [mm] \not= [/mm] e gilt [mm] h^{-1} \not\in [/mm] G (da [mm] h^{-1} \in [/mm] H weil H eine Gruppe ist)
[mm] \Rightarrow \phi^{-1} [/mm] (e) = (e,e)
[mm] \Rightarrow \phi [/mm] ist injektiv
[mm] \Rightarrow \phi [/mm] ist bijektiv
Zum Beweis vom Homomorphismus: es gilt für h,h' [mm] \in [/mm] H und k,k' [mm] \in [/mm] K:
[mm] \phi(h,k) \circ \phi(h',k') [/mm] = hkh'k' und
[mm] \phi(hh',kk') [/mm] = hh'kk'
Jetzt fehlt nur noch die Begründung, wieso hkh'k'=hh'kk' (*) gilt. Allerdings weiß ich nicht genau wieso das hier gilt. Nicht jeder Normalteiler ist abelsch, deshalb kann es ja schon mal nicht daran liegen, aber ich weiß nicht wie man (*) sonst begründen könnte.
Und wie genau hilft mir nun, dass ich weiß, dass [mm] \phi [/mm] ein Isomorphimus ist, bei dem Beweis zu der Aussage? Das sehe ich noch nicht so richtig.
LG, MinLi
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Was ja noch fehlt, ist $kh'=h'k$. Um das einzusehen, beachte, dass [mm] $kh'k^{-1}h'^{-1}\in H\cap [/mm] K$ gilt.
Nun zeige per Induktion, dass [mm] $S_1\times \dots\times S_n\cong S_1\cdot\ldots\cdot S_n$. [/mm] Anschließend überlege dir noch, dass [mm] $S_1\cdot\ldots\cdot S_n=G$ [/mm] gilt.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:25 So 22.11.2015 | | Autor: | MinLi |
Die ersten beide Beweise habe ich hingekriegt.
zu G = [mm] S_{1}*...*S_{n} [/mm] habe ich allerdings nochmal eine Frage:
In diesem Fall gilt ja, dass alle p-Untergruppen von G in der p-Sylowgruppe [mm] S_{i} [/mm] enthalten sind. Aber wenn man nun zB eine Untergruppe der Ordnung 12 von G hat, dann ist das ja keine p-Sylowgruppe, weil 12 nicht prim ist. Woher weiß ich, dass ich diese Untergruppe nicht im Produkt das G erzeugt, brauche? Ich habe mir gedacht, dass man das vielleicht damit begründen kann, dass die verschiedenen p-Sylowgruppen sich nur trivial schneiden, allerdings sehe ich nicht genau wie. Weil auch wenn die 2-Sylowgruppe und die 3-Sylowgruppe sich nur trivial schneiden, könne sie doch beide in dieser Untergruppe enthalten sein...
LG, MinLi
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Vergleiche die Elementzahl von $G$ und [mm] $S_1\dots S_n$.
[/mm]
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:28 Mo 23.11.2015 | | Autor: | MinLi |
Aber ich weiß doch nicht wieviel Elemente G hat. Ich weiß wenn p |G| teilt, dann hat G ein Element der Ordnung p, aber wenn 12 |G| teilt hat G ja auch ein Element der Ordnung 12 und ich weiß nicht wie ich das ausschließen kann. Die p-Sylowgruppen haben nur Elemente der Ordnung [mm] p^{k}, [/mm] oder nicht?
LG, MinLi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Sa 28.11.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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