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| Aufgabe | Def. direktes Produkt:
Seien [mm] G_{1}, G_{2} [/mm] Gruppen. Das direkte Produkt [mm] G=G_{1} [/mm] x [mm] G_{2} [/mm] ist die Menge der Paare [mm] (g_{1},g_{2}) \in G_{1} [/mm] x [mm] G_{2} [/mm] mit der komponentenweise Multiplikation [mm] (g_{1},g_{2})(h_{1},h_{2})=(g_{1}h_{1},g_{2}h_{2})
[/mm]
Def. Produkt:
Seien X,Y [mm] \subset [/mm] G Untermengen. Dann heißt XY={xy [mm] \in [/mm] G | x [mm] \in [/mm] X, y [mm] \in [/mm] Y} Produkt von X und Y.
Satz:
Sei G eine Gruppe, H, K [mm] \subset [/mm] G Untergruppen mit H [mm] \cap [/mm] K = {e}, hk=kh für alle h [mm] \in [/mm] H, [mm] k\in [/mm] K und G=HK. Dann ist [mm] \lambda: [/mm] H x K [mm] \to [/mm] G ; (h,k) [mm] \mapsto [/mm] hk ein Isomorphismus. |
Hallo!
Mir geht es gerade um den Unterschied von Produkt und direktem Produkt.
Generell sieht man, dass der Unterschied darin liegt, dass im Produkt von Mengen und im direkten Produkt von Gruppen die Rede ist, dass durch das direkte Produkt eine neue Gruppe definiert ist.
Die Multiplikation ist gleich.
Doch wenn man sich den Satz anschaut, dann wird hier das Produkt HK für Gruppen verwendet.
Oder sehe ich das falsch?
Was bringt uns die Unterscheidung von Produkt und direktem Produkt?
Ich wäre für Hilfe sehr dankbar! 
Grüßle, Lily
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:45 Fr 07.03.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Def. direktes Produkt:
> Seien [mm]G_{1}, G_{2}[/mm] Gruppen. Das direkte Produkt [mm]G=G_{1}[/mm] x
> [mm]G_{2}[/mm] ist die Menge der Paare [mm](g_{1},g_{2}) \in G_{1}[/mm] x
> [mm]G_{2}[/mm] mit der komponentenweise Multiplikation
> [mm](g_{1},g_{2})(h_{1},h_{2})=(g_{1}h_{1},g_{2}h_{2})[/mm]
>
> Def. Produkt:
> Seien X,Y [mm]\subset[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
G Untermengen. Dann heißt XY={xy [mm]\in[/mm] G
> | x [mm]\in[/mm] X, y [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Y} Produkt von X und Y.
>
> Satz:
> Sei G eine Gruppe, H, K [mm]\subset[/mm] G Untergruppen mit H [mm]\cap[/mm] K
> = {e}, hk=kh für alle h [mm]\in[/mm] H, [mm]k\in[/mm] K und G=HK. Dann ist
> [mm]\lambda:[/mm] H x K [mm]\to[/mm] G ; (h,k) [mm]\mapsto[/mm] hk ein Isomorphismus.
> Hallo!
> Mir geht es gerade um den Unterschied von Produkt und
> direktem Produkt.
> Generell sieht man, dass der Unterschied darin liegt, dass
> im Produkt von Mengen und im direkten Produkt von Gruppen
> die Rede ist,
In der Tat.
Denn um das Produkt der Mengen zu definieren, muss bereits eine Definition vorhanden sein, wie man die Elemente der einen Menge mit denen der anderen Menge zu multiplizieren hat, deshalb die Voraussetzung, dass beides Teilmengen einer gemeinsamen Gruppe sein sollen.
Für das direkte Produkt ist das nicht erforderlich. Es wird eine neue Menge (das Kreuzprodukt der beiden Mengen) geschaffen und auf dieser neuen Menge eine Multiplikation definiert, die nur voraussetzt, dass bereits eine Multiplikation innerhalb der einzelnen Mengen (aber eben nicht unbedingt zwischen Elementen verschiedener Mengen) existiert und eine Multiplikation auf dieser neuen Menge [mm] G_1\times G_2 [/mm] wird frisch (neu) definiert.
Es ist also z.B. möglich, das direkte Produkt der Permutationsgruppe aller Wochentage mit der Diedergruppe [mm] D_5 [/mm] zu bilden, aber nicht ihr Produkt, weil sie zunächst nicht beides Untergruppen einer gemeinsamen Gruppe sind.
> dass durch das direkte Produkt eine neue
> Gruppe definiert ist.
Wenn du behauptest, dass die oben definierte Multiplikation auf [mm] G_1\times G_2 [/mm] eine Gruppenstruktur liefert, dann muss das bewiesen werden.
> Die Multiplikation ist gleich.
Höchst unverständlicher Satz. Gleich was ? Gleich wem ?
Ich sehe hier nirgendwo irgendeine Gleichheit.
> Doch wenn man sich den Satz anschaut, dann wird hier das
> Produkt HK für Gruppen verwendet.
So ist es, und zwar aus dem oben erläuterten Grund.
> Oder sehe ich das falsch?
> Was bringt uns die Unterscheidung von Produkt und direktem
> Produkt?
Zunächst sind es doch unterschiedliche Dinge, wir produzieren also keinen (künstlichen) Unterschied.
Der Satz sagt vielmehr aus, dass unter gewissen sehr einschränkenden Voraussetzungen eine Art Identifikation (also genau das Gegenteil von Unterscheidung) zwischen den beiden Begriffsbildungen möglich ist.
Und diese Tatsache, dass nämlich [mm] \lambda [/mm] (unter den genannten Voraussetzungen) ein Isomorphismus ist, sollst du beweisen.
>
> Ich wäre für Hilfe sehr dankbar!
> Grüßle, Lily
Gruß Sax.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:04 Fr 07.03.2014 | | Autor: | Mathe-Lily |
Hallo Sax!
Vielen Dank! Du hast mir sehr weiter geholfen!
Grüßle, Lily
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