Produkt von Elementarmatrizen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:00 Di 28.11.2006 | | Autor: | nathenatiker |
| Aufgabe | Sei [mm] \mathcal{P}^{n,n} [/mm] die Menge aller Permutationsmatrizen in [mm] {K}^{n,n}.
[/mm]
Stimmt die Aussage, dass es für jedes paar (P;U) [mm] \in \mathcal{P}^{n,n} \times U^{n,n} [/mm] ein weiteres paar (P';U') [mm] \in \mathcal{P}^{n,n} \times U^{n,n} [/mm] gibt, so dass P*U=U'*P'. Geben sie einen Beweis oder ein gegenbeispiel |
Hallo,
ich denke ich habe zu dieser Aufgabe ein Gegenbeispiel gefunden, bin mir aber nicht sicher:
Sei P = [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 } [/mm] und
U = [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 } [/mm]
Dann ist U*P = [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 } [/mm]
Dazu gibt es aber kein P' mehr, damit die Gleichung P*U=U'*P' erfüllt ist.
Wäre das richtig? Wenn nciht, wie würde man es sonst machen?
danke schon mal für die hilfe.
Robert
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:35 Di 28.11.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
dein Gegenbeispiel dürfte nicht richtig sein, denn dein P ist ja die einheitsmatrix , also gilt : P*U=U*P, also findest du ein U' und ein P' indem du U'=U und P'=P setzt.
allgemein solltest du erstmal klären, was [mm] $U^{n,n}$ [/mm] sein soll
einfach alle n-dimensionalen Matrizen oder wie?
Dann könnte man aber U'=(P*U) und P'=einheitsmatrix wählen...
:-?
zum weiteren vorgehen (wenn du weißt, was das U sein darf ):
wenn du eine Permutationsmatrix P hast und eine Matrix U , was passiert dann bei (P*U) und was bei (U*P)
(auf Zeilen und Spalten achten)
viele Grüße
DaMenge
|
|
|
| |
|
Hallo,
ok, hab jezt doch gesehen, dass [mm] U^{n,n} [/mm] die menge der unteren Dreicksmatrizen ist. Leider hab ich noch kein Gegenbeispiel gefunden und leider weiss ich im moment auch nicht, wie man beweisen könnte, dass es immer ein zweites paar (P';U') $ [mm] \in \mathcal{P}^{n,n} \times U^{n,n} [/mm] $ gibt
so dass die Gleichung erfüllt wird.
Kann mir jemand helfen?
MFG
robert
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:48 Mi 29.11.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi Robert,
anscheinend hast du dir noch keine Gedanken dazu gemacht, was ich sonst noch vorgeschlagen hatte, oder?
wenn P eine Permutationsmatrix ist und A eine Matrix, was passiert bei
1) P*A
und was bei
2) A*P
?? (bzgl zeilen und spalten)
wenn du dies weißt und U eine Untere dreiecksmatrix sein soll, nimm doch mal: [mm] $U=\pmat{1&0\\2&3}$ [/mm] und [mm] $P=\pmat{0&1\\1&0}$
[/mm]
was ist dann (P*U) und warum kann dann mit obiger Überlegung kein U' und P' existieren, so dass P*U=U'*P'
(wenn U' auch untere dreiecksmatrix sein muss)
viele Grüße
DaMenge
|
|
|
|
