Produkt von Elementarmatrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:39 Mo 22.11.2004 | | Autor: | mcsumo |
Ich brauche Hilfe bei der Lösung der folgenden Aufgabe:
Stellen Sie folgende Matrix als Produkt von Elementarmatrizen dar:
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 3 }
[/mm]
Ich weiß nicht wie ich diese 3x3 Matrix als Produkt von Elementarmatrizen darstellen soll. Vielleicht könnt ihr mir einen Hinweis geben oder einen Ansatz darstellen. Ein anderes Beispiel würde mir allerdings auch schon helfen.
Bitte! Schnell ich bin total am Verzweifeln!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo!
Eigentlich ist das ganz einfach: Du mußt die Matrix nur mit elementaren Zeilen und Spaltenumformungen in Diagonalgestalt bringen - dann hast das Produkt von selbst!
Die Theorie dahinter ist folgende: ich bezeichne mal die Matrix, die an der Stelle $(i,j)$ mit $i [mm] \not= [/mm] j$ den Wert [mm] $\mu$ [/mm] stehen hat, auf der Diagonalen 1en und sonst nur 0en mit [mm] $Q_{ij}(\mu)$.
[/mm]
Das war zumindest bei uns eine Sorte von Elementarmatrizen. Mulitplikation von rechts mit einem [mm] $Q_{ij}(\mu)$ [/mm] heißt nun gerade, das [mm] $\mu$-fache [/mm] der einen Zeile zur anderen addieren (welches genau müßte ich nachsehen... probiere es einfach aus.  )
Deine Vorgehensweise ist also die: Du formst zunächst die gegebene Matrix mit solchen Zeilenumformungen um, bis Du auf Zeilenstufenform gekommen bist - dabei protokollierst Du mit, welche Umformungen Du machst!
Dann machst Du Spaltenumformungen, bis Du bei einer Diagonalmatrix $D$ angekommen bist.
Dann gilt doch: $D = [mm] Q_1(\mu_1) \cdot \ldots \cdot Q_k (\mu_k) \cdot [/mm] A [mm] \cdot Q_{k+1}(\mu_{k+1}) \cdot \ldots \cdot Q_{k+m}(\mu_{k+m})$
[/mm]
Alles klar? Die Q's sind die Elementarmatrizen, die für die Umformungen nötig waren - die für die Zeilen von links und für die Spalten von rechts.
Die Diagonalmatrix kannst auch als Produkt von Elementarmatrizen schreiben - das ist ganz leicht (bei uns hießen diese [mm] "$S_i(\lambda)$" [/mm] und hatten auf der Diagonalen nur 1en außer in der Zeile i, da stand das [mm] $\lambda$).
[/mm]
Jetzt formst Du den Ausdruck nach $A$ um und voilà - alles steht da. 
Viel Spaß!
Lars
|
|
|
|
