Produkt von Elementarmatrizen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Schreiben sie die Matrix
[mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 }
[/mm]
als ein produkt von elementar matritzen. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo erst mal,
folgendes problem schreibe nächste woche mittwoch meine matheklausur und gehe grad die probeklausur durch. in den vorlesungen wurde das so nur sehr oberflächlich gemacht und ich hab keine ahnung. kann mir da jmd helfen?
weil ich hab ganz ehrlich auch kein ansatz...
danke im voraus
dauerkleber
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:31 Di 09.03.2010 | | Autor: | fred97 |
Schau Dir das mal genau an:
http://de.wikipedia.org/wiki/Elementarmatrix
FRED
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mir ist klar, was eine elementarmatrix ist. es geht mir um das produkt einer solchen. ich möchte dir auch nicht zu nahe treten, aber deinem namen entnehme ich, dass du max 13 jahre alt bist. mit 13 ist man in der 6. oder 7. klasse und da hattet ihr definitiv noch nicht das thema...
also noch mal, kann mir jemand eine sinnvolle lösung geben? wäre echt nett.
gruß kleber
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:52 Mi 10.03.2010 | | Autor: | fred97 |
> mir ist klar, was eine elementarmatrix ist. es geht mir um
> das produkt einer solchen. ich möchte dir auch nicht zu
> nahe treten, aber deinem namen entnehme ich, dass du max 13
> jahre alt bist.
Witzbold ! Mit dieser Logik wirst Du weit kommen .............
............... Dein Nickname lässt mächtig viel Spielraum für Spekulationen ..........
FRED
> mit 13 ist man in der 6. oder 7. klasse und
> da hattet ihr definitiv noch nicht das thema...
>
> also noch mal, kann mir jemand eine sinnvolle lösung
> geben? wäre echt nett.
>
> gruß kleber
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> ich möchte dir auch nicht zu
> nahe treten, aber deinem namen entnehme ich, dass du max 13
> jahre alt bist. mit 13 ist man in der 6. oder 7. klasse und
> da hattet ihr definitiv noch nicht das thema...
Hallo Dauerkleber,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Deinem Namen entnehme ich, daß niemand von Dir verlangt, daß Du Mathematikaufgaben löst...
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:30 Di 09.03.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Zuerst mal: Fred ist sicher älter als wir. :)
Zu deiner Frage:
Du kennst ja sicher den Algorithmus, um eine gegebene Matrix A zu invertieren.
Wo du A und die Einheitsmatrix nebeneinander schreibst, elementare Zeilenumformungen machst und am Ende links die Einheitsmatrix und rechts [mm] A^{-1} [/mm] steht.
Jede Zeilenumformung kannst du mit einer Elementarmatrix beschreiben. Hattest du das schon gehabt?
Auf alle Fälle notierst du dir beim Invertieren alle Schritte, die du gemacht hast, oder direkt die dazugehörigen Elementarmatrizen.
Dann weißt du also, dass [mm] C_s*...*C_1*A=E [/mm] ist [mm] (C_1, [/mm] ..., [mm] C_s [/mm] sind die Elementarmatrizen, man brauchte s Schritte für die Invertierung).
Jetzt kannst du die Gleichung mit allen Inversen der Elementarmatrizen multiplizieren und du hast eine Darstellung von A.
Die andere Möglichkeit ist, dass du erst [mm] A^{-1} [/mm] bestimmst und dann [mm] A^{-1} [/mm] noch einmal invertierst. Dann musst du nicht erst alle Elementarmatrizen invertieren, sondern hast das Ergebnis gleich da.
Also wenn du [mm] A^{-1} [/mm] mit dem gleichen Algorithmus (sagen wir in k Schritten) invertierst, hast du eine Darstellung [mm] D_k*...*D_1*A^{-1}=E [/mm] und damit ist dann [mm] D_k*...*D_1=A (D_1,...,D_k [/mm] sind Elementarmatrizen). Diese Methode bevorzuge ich.
Und welche Matrix für welche Umformung steht, findest du vielleicht in deinem Skript oder auf der Wikipediaseite, die Fred dir gab.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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wenn das so ist, dann entschuldige ich mich bei fred :) war ein wenig im streß wegen arbeit und lernen und hab dann vllt ein wenig überreagiert sry dafür.
ich hab das mal durchgerechnet und bin zu folgendem ergbebnis gekommen:
[mm] A*SA_{12}(-2)*SM_{2}(-\bruch{1}{2})*SA_{12}(-3)
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 } [/mm] -> [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 3 & -2 } [/mm] -> [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 3 & 1 } [/mm] -> [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }
[/mm]
[mm] (SA_{12}(-2) [/mm] bedeutet spaltenaddition: auf die erste spalte wird die zweite, welche mit dem faktor -2 erweitert wurde addiert.
[mm] SM_{2}(-\bruch{1}{2}) [/mm] bedeutet spaltenmultiplikation: spalte 2 wird mit -1/2 multipliziert.)
ist das so richtig, oder hab ich das falsch verstanden?
gruß der kleber
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> wenn das so ist, dann entschuldige ich mich bei fred :) war
> ein wenig im streß wegen arbeit und lernen und hab dann
> vllt ein wenig überreagiert sry dafür.
>
> ich hab das mal durchgerechnet und bin zu folgendem
> ergbebnis gekommen:
>
> [mm]A*SA_{12}(-2)*SM_{2}(-\bruch{1}{2})*SA_{12}(-3)[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 }[/mm] -> [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 3 & -2 }[/mm] ->
> [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 3 & 1 }[/mm] -> [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
>
>
> [mm](SA_{12}(-2)[/mm] bedeutet spaltenaddition: auf die erste spalte
> wird die zweite, welche mit dem faktor -2 erweitert wurde
> addiert.
> [mm]SM_{2}(-\bruch{1}{2})[/mm] bedeutet spaltenmultiplikation:
> spalte 2 wird mit -1/2 multipliziert.)
>
> ist das so richtig, oder hab ich das falsch verstanden?
> gruß der kleber
Dann schreib es doch gleich so
[mm]\pmat{ 1 & 0 \\ -3 & 1 } \cdot\pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 }\cdot\pmat{ 1 & -2 \\ 0 & 1 }\cdot\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -\frac{1}{2} }=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
natürlich wäre es besser gewesen nur Spalten oder nur Zeilenumformungen durchzuführen.
Also
[mm]\pmat{ 1 & -2 \\ 0 & 1 } \cdot\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -\frac{1}{2} }\cdot\pmat{ 1 & 0 \\ -3 & 1 }\cdot\pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 }=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
Allerdings fehlt noch das invertieren, du willst ja [mm] $\pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 }$ [/mm] und nicht die Einheitsmatrix.
[mm] $\pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 }=2*\pmat{ 1 & 0 \\ 3 & 1 }\cdot\pmat{ -\frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 }\cdot\pmat{ 1 & 2 \\ 0 & 1 }\cdot\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }$
[/mm]
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![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]"){kind=small}
Gruß
