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| Aufgabe | | Wir betrachten ein Quadrat der Seitenlänge 1, welches von einer Geraden geschnitten wird. Bezeichne mit [mm] S_1 [/mm] und [mm] S_2 [/mm] die Flächeninhalte der beiden Teile, in die das Quadrat von der Geraden zerteilt wird. Bestimmen Sie den maximalen Wert, den das Produkt [mm] S_1 [/mm] * [mm] S_2 [/mm] unter allen möglichen Wahlen der Geraden annehmen kann! |
Hallo,
erstmal sollen wir diese Aufgabe lösen, ohne Ableitungen zu benutzen, d.h. nur durch Abschätzungen durch Ungleichungen!
Wenn ich mich nicht irre, gibt es genau 4 Fälle, die man betrachten muss.
1. Fall:
Die Gerade schneidet das Quadrat so, dass wir zwei Rechtecke erhalten.
Dann hat [mm] S_1 [/mm] die Seiten 1-x und 1 und [mm] S_2 [/mm] die Seiten x und 1.
Es gelte: 0 < x < 1 (das Quadrat soll ja in 2 Teile geteilt werden).
Dann gilt für [mm] S_1 [/mm] = (1-x) * 1 = 1 - x und [mm] S_2 [/mm] = x * 1 = x
[mm] S_1 [/mm] * [mm] S_2 [/mm] = (1 - x) * x = [mm] -x^2 [/mm] + x = [mm] -(x^2 [/mm] - x)
Da 0 < x < 1, folgt: [mm] x^2 [/mm] - x < 0
[mm] \Rightarrow -(x^2 [/mm] - x) > 0.
2. Fall:
Die Gerade schneidet das Quadrat so, dass wir zwei gleichgroße, rechtwinklige Dreiecke erhalten (Gerade entspricht der Diagonalen vom Quadrat). Beide Dreiecke haben also diesselbe Grundseite g und Höhe h.
Es gilt: g = [mm] \wurzel{2} [/mm] und h = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] \wurzel{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow S_1 [/mm] = [mm] S_2 [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * g * h = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] \wurzel{2} [/mm] * [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] \wurzel{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{4} [/mm] * 2 = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow S_1 [/mm] * [mm] S_2 [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] \bruch{1}{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{4}
[/mm]
3. Fall:
Die Gerade schneidet das Quadrat so, dass wir ein rechtwinkliges Dreieck haben und ein 5-Eck.
Sei [mm] S_1 [/mm] der Flächeninhalt vom Dreieck, g Grundseite, und h Höhe.
x und y seien die Katheten vom Dreieck.
[mm] S_2 [/mm] sei der Flächeninhalt vom 5-Eck.
Desweiteren gelte: 0 < x,y < 1.
Es gilt: [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] = [mm] g^2
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] g = [mm] \wurzel{x^2 + y^2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow S_1 [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * g * h = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] \wurzel{x^2 + y^2} [/mm] * h
[mm] \Rightarrow S_2 [/mm] = 1 - [mm] S_1 [/mm] = 1 - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] \wurzel{x^2 + y^2} [/mm] * h
4. Fall:
Die Gerade schneidet das Quadrat so, dass wir 2 5-Ecke haben mit Flächeninhalten [mm] S_1 [/mm] und [mm] S_2.
[/mm]
Im 4. Fall weiß ich nicht, wie ich die Flächeninhalte berechnen soll.
Außerdem behaupte ich, dass im 1. Fall das Produkt [mm] S_1 [/mm] * [mm] S_2 [/mm] höchstens [mm] \bruch{1}{4} [/mm] für x = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] sein kann. Das würde wiederum bedeuten, dass wir den 1. Fall nicht mehr weiter betrachten brauchen, da das Produkt von [mm] S_1 [/mm] und [mm] S_2 [/mm] im 2. Fall auch [mm] \bruch{1}{4} [/mm] ist.
Man müsste dann entweder zeigen, dass die anderen beiden Fälle auch maximal [mm] \bruch{1}{4} [/mm] sind, oder, dass vielleicht eins drüber liegt, und dann hätte man das ganze zumindest weiter eingegrenzt.
Mehr ist mir zur Aufgabe erstmal nicht eingefallen...
Für Hilfe wäre ich dankbar!
Ergänzung:
In unseren Übungen hatten wir folgende Ungleichungen:
[mm] \wurzel{a+b} \le \wurzel{a} [/mm] + [mm] \wurzel{b} \le \wurzel{2*(a+b)} \forall [/mm] a,b [mm] \ge [/mm] 0
min{a,b} [mm] \le \bruch{2}{a^{-1} + b^{-1}} \le \wurzel{ab} \le \bruch{a+b}{2} \le \wurzel{\bruch{a^2 + b^2}{2}} \le [/mm] max{a,b} [mm] \forall [/mm] a,b > 0
Helfen die mir bei dieser Aufgabe irgendwie weiter?
Grüsse
Alex
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:32 Mi 31.10.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du machst dir das viel zu schwer.
1.wenn die Gerade irgendein Stück S1 abschneidet, S1=x und der gesamte Flächeninhalt =1 ist, wie gross ist S2?
2. wo hat bei bekannten Nullstellen eine parabel ihren Scheitel?
Gruss leduart
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> Hallo
> Du machst dir das viel zu schwer.
> 1.wenn die Gerade irgendein Stück S1 abschneidet, S1=x und
> der gesamte Flächeninhalt =1 ist, wie gross ist S2?
> 2. wo hat bei bekannten Nullstellen eine parabel ihren
> Scheitel?
> Gruss leduart
1.) Dann ist [mm] S_2 [/mm] = 1 - x
2.) Wenn die Parabel nur eine Nullstelle [mm] x_1 [/mm] hat, ist der Scheitelpunkt [mm] S(x_1|0)
[/mm]
Wenn die Parabel f zwei Nullstellen [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] hat, lautet der Scheitelpunkt [mm] S(\bruch{|x_1| + |x_2|}{2} [/mm] + [mm] x_2|f(\bruch{|x_1| + |x_2|}{2} [/mm] + [mm] x_2))
[/mm]
Aber wie hilft mir das weiter?
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Hallo Blackburn,
> > 1.wenn die Gerade irgendein Stück S1 abschneidet, S1=x und
> > der gesamte Flächeninhalt =1 ist, wie gross ist S2?
> > 2. wo hat bei bekannten Nullstellen eine parabel ihren
> > Scheitel?
> > Gruss leduart
>
> 1.) Dann ist [mm]S_2[/mm] = 1 - x
So ist es.
> 2.) Wenn die Parabel nur eine Nullstelle [mm]x_1[/mm] hat, ist der
> Scheitelpunkt [mm]S(x_1|0)[/mm]
>
> Wenn die Parabel f zwei Nullstellen [mm]x_1[/mm] und [mm]x_2[/mm] hat, lautet
> der Scheitelpunkt [mm]S(\bruch{|x_1| + |x_2|}{2}[/mm] +
> [mm]x_2|f(\bruch{|x_1| + |x_2|}{2}[/mm] + [mm]x_2))[/mm]
Ohne die Betragsstriche würde es fast stimmen.  Nimm mal die Nullstellen [mm] x_1=-1 [/mm] und [mm] x_2=3, [/mm] dann siehst Du, was ich meine.
> Aber wie hilft mir das weiter?
Nimm irgendeinen Punkt außerhalb des Quadrats. Lege eine Gerade durch diesen Punkt und lass sie rotieren. Irgendwann berührt sie das Quadrat in einem Punkt (oder einer ganzen Seite des Quadrats). Dreht man weiter, schneidet die Gerade das Quadrat, und bei weiterer Drehung erreicht sie wieder eine Position, in der sie das Quadrat nur berührt.
Bei Berührung ist eine der beiden Teilflächen Null, also auch [mm] S_1*S_2=0.
[/mm]
Wird das Quadrat tatsächlich geschnitten, wird das Produkt positiv.
Das zu erwartende Maximum ist nun an einem "ausgezeichneten" Punkt, höchstwahrscheinlich also dann, wenn [mm] S_1=S_2 [/mm] ist.
Dazu ist nur zu zeigen, dass (0,5A+a)(0,5A-a)<0,25A ist, wobei A die Fläche des Quadrats bezeichnet und [mm] a\not=0 [/mm] ist.
Grüße
reverend
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Ok, ich glaube, ich habs jetzt.
Nach Voraussetzung ist A := 1 * 1 = 1 der Flächeninhalt vom Quadrat.
Seien [mm] S_1 [/mm] und [mm] S_2 [/mm] die Flächeninhalte der beiden Teile, in die das Quadrat von der Geraden zerteilt wird.
Setze [mm] S_1 [/mm] := X [mm] \Rightarrow S_2 [/mm] = A - X = 1 - X.
Wenn die Gerade das Quadrat nur berührt, ist eines der Flächen gleich Null
[mm] \Rightarrow S_1 [/mm] * [mm] S_2 [/mm] = 0.
Betrachte nun den Fall, dass die Gerade das Quadrat schneidet, also 0 < [mm] S_1 [/mm] < 1 [mm] (S_1 [/mm] muss kleiner 1 sein, da sonst [mm] S_2 \le [/mm] 0, was wir ausschließen wollen)
Es ist:
0 < [mm] S_1 [/mm] * [mm] S_2 [/mm] = X * (1-X) = X - [mm] X^2 [/mm] = [mm] -(X^2 [/mm] - X) = [mm] -(X^2 [/mm] - X + [mm] (\bruch{1}{2})^2 [/mm] - [mm] (\bruch{1}{2})^2) [/mm] = -((X- [mm] \bruch{1}{2})^2 [/mm] - [mm] \bruch{1}{4}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{4} [/mm] - [mm] \underbrace{(X - \bruch{1}{2})^2 }_{\ge 0} \le \bruch{1}{4}
[/mm]
[mm] \Rightarrow S_1 [/mm] * [mm] S_2 [/mm] = [mm] \bruch{1}{4} [/mm] - (X - [mm] \bruch{1}{2})^2 [/mm] = [mm] \bruch{1}{4}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] -(X - [mm] \bruch{1}{2})^2 [/mm] = 0
[mm] \Rightarrow [/mm] (X - [mm] \bruch{1}{2})^2 [/mm] = 0
[mm] \Rightarrow [/mm] X - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] = 0
[mm] \Rightarrow [/mm] X = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow S_1 [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}, S_2 [/mm] = 1 - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow S_1 [/mm] * [mm] S_2 [/mm] = [mm] \bruch{1}{4} [/mm] maximal
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Hallo Blackburn,
das liest sich irgendwie zu aufwändig und kompliziert, ist aber richtig.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:56 Mi 31.10.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] -x^2+x [/mm] hat doch die 2 Nst 0 und 1, also , da nach unten geöffnet das max bei x=1
aber das hast du ja auch- wenn auch umständlich rausgebracht.
Gruss leduart
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Ja, ich habe das jetzt so gelöst, weil in der Vorlesung hatten wir eine ähnliche Aufgabe nur mit Volumenmaximierung, und das hatten wir auch nur durch Abschätzen gelöst.
Danke für eure Hilfe!
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