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| Aufgabe | Bestimmen Sie die partikulaere Loesungen der partiellen Differentialgleichung:
[mm] x^{2} [/mm] * [mm] u_{x} [/mm] + [mm] u_{y} [/mm] = (x + [mm] \bruch{1}{y}) [/mm] * u
indem Sie einen Produktansatz u(x,y) = f(x) * g(y) durchfuehren. |
Die Aufgabe stellt mich im Grunde genommen vor keine Probleme. Ich schreib mal auf, was ich bis dato (in Kurzform) gemacht habe:
[mm] x^{2} [/mm] * f'(x) * g(y) + f(x) * g'(y) = (x + [mm] \bruch{1}{y}) [/mm] * f(x) * g(y)
Wenn man den ganzen Term nun durch u(x,y) teilt, kommt folgendes raus:
[mm] x^{2} [/mm] * [mm] \bruch{f'(x)}{f(x)} [/mm] + [mm] \bruch{g'(y)}{g(y)} [/mm] = (x + [mm] \bruch{1}{y})
[/mm]
Und so weiter... nachdem man nun also die Variablen getrennt hat, kriegt man folgendes raus:
ln( f(x) ) = - [mm] \bruch{C}{x} [/mm] + ln(x) + D
und
ln( g(y) ) = ln (y) - C * y + D^
Da ich ja laut Produktansatz jeweils f(x) und g(y) benoetige muss ich die beiden Terme noch mit "e" multiplizieren, also:
f(x) = [mm] e^{-\bruch{C}{x}} [/mm] + x + D
g(y) = y + [mm] e^{-C * y} [/mm] + D^
So laut Produktansatz werden jetzt beide Dinger multipliziert:
u(x,y) = f(x) * g(y) =
[mm] (e^{-\bruch{C}{x}} [/mm] + x) * (y + [mm] e^{-C * y})
[/mm]
Erste Frage: Was mache ich hie mit dem D? Wird das weiter mitmultipliziert? Ich habs erstmal weggelassen, da ich den Term sowieso nicht zusammen fassen kann.
= [mm] e^{-C * y -\bruch{C}{x}} [/mm] + [mm] e^{-\bruch{C}{x}} [/mm] * y + [mm] e^{-\bruch{C}{x}} [/mm] * x + x*y
So weiter kann ich die Geschichte nicht aufloesen. Mir faellt einfach nicht ein, wie ich was vereinfachen koennte?!
Rauskommen soll folgendes:
K * x * y * [mm] e^{-C*({-\bruch{y+1}{x})}}
[/mm]
Woher kommt das K? Ich schaetze, dass das einfach aus den konstanten D's gebildet wird? Aber wie haben die das so zusammengefasst? Ich probiere und probiere aber komme auf keine Moeglichkeit.
Waere echt nett wenn mir jemand helfen koennte! Vielen vielen herzlichen Dank dafuer bereits im voraus.
Mit freundlichene Grueßen Tim
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:39 Di 02.02.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Ich bin mir nicht sicher...aber machst du nicht den fehler beim mit "e "multiplizieren""...
[mm] e^{a+b} [/mm] = [mm] e^a [/mm] * [mm] e^b
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:55 Di 02.02.2010 | | Autor: | evilmaker |
So wie du es beschrieben hast habe ich doch gerechnet. Die "e Multiplikation" fuehrt doch bei mir zu einer Addition der Potenzen.
Danke fuer die Erklaerung der Konstanten - damit hat sich das schonmal erledigt.
Weiss noch jemand mehr zu der Zusammenfassung der Multiplikation?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:12 Di 02.02.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Ich seh das nicht...:
ln( f(x) ) = - C/x + ln(x) + D
--------->>>
f(x) = e^(-C/x) + x + D
???
f(x) = [mm] e^{ -C/x + ln(x) + D } [/mm]
= [mm] e^{ -C/x} [/mm] * [mm] e^{ ln(x)} [/mm] * [mm] e^{ D}
[/mm]
= [mm] e^{ -C/x} [/mm] * x * "neueKonstante"
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:50 Di 09.02.2010 | | Autor: | evilmaker |
Geile Scheisse!!!
Ich hab den e - Term falsch multipliziert und mich dumm und daemlich an der Aufgabe gesessen. Danke fuer die kurze und schnelle Umformung von dir - vielen vielen vielen Dank  ! You just made my day.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:43 Di 02.02.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Aja und zu den Konstanten...das gibt ja dann f(x) = ...*e^(konstante)
Das e^(konstante) kann man wieder als neue Konstante betrachten.
Und noch was: natürlich nimmt man die Konstanten mit wenn man f(x)*g(x) rechnet!!! Die einfach multipliziert gibt dann aus den Beiden Konstanten von f(x) und g(x) ne Konstante K.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Do 04.02.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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