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| Aufgabe | | Sei p > 2 und seien g und h primitive Elemente in [mm] \IF_{p} [/mm] = [mm] \IZ/p\IZ. [/mm] Dann ist gh kein primitives Element in [mm] \IF_{p}. [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Hallo,
meine erste Frage zu dieser Aufgabe ist, ob die Aufgabenstellung so überhaupt richtig ist. Müsste es sich nicht immer um [mm] (\IZ/p\IZ)^{x} [/mm] bzw. [mm] (\IF_{p})^{x}handeln, [/mm] da doch erzeugende Elemente für die Einheitengruppe definiert sind oder habe ich das falsch verstanden?
Nun denn, ich nehme mal an dass es sich um [mm] (\IF_{p})^{x} [/mm] handelt. Ich dachte an folgenden Beweis, der aber so nicht hinhaut:
Sei g,h erzeugende Elemente von [mm] (\IF_{p})^{x}. [/mm] Dann gilt für g bzw. g': [mm] g^{(p-1)}modp [/mm] = 1 bzw. [mm] h^{(p-1)}modp [/mm] = 1. Das habe ich aus dem Satz von Lagrange abgeleitet, denn aus diesem folgt ja für eine endliche Gruppe G und ein a in G, dass [mm] a^{|G|} [/mm] = e, wobei e das neutrale Element ist und |G| die Ordnung von G bezeichnet. Da in [mm] (\IF_{p})^{x} [/mm] p-1 Elemente liegen folgt doch das oben, oder?
Meine Beweisidee war jetzt folgende, unter der Annahme, dass gh ein erzeugendes Element ist, müsste doch auch gelten [mm] (gh)^{(p-1)}modp [/mm] = 1. Ich wollte zeigen, dass es nicht gilt. Aber ich kriege es so raus, genauer:
[mm] (gh)^{(p-1)}modp [/mm] = [mm] g^{(p-1)}h^{(p-1)}modp [/mm] = [mm] g^{(p-1)}modp* h^{(p-1)}modp [/mm] = 1 * 1 = 1.
Was mache ich falsch bzw. habt ihr vielleicht einen alternativen Ansatz.
Grüße, Steffen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:56 Mo 30.04.2007 | | Autor: | statler |
Hi Steffen!
> Sei p > 2 und seien g und h primitive Elemente in [mm]\IF_{p}[/mm] =
> [mm]\IZ/p\IZ.[/mm] Dann ist gh kein primitives Element in [mm]\IF_{p}.[/mm]
> meine erste Frage zu dieser Aufgabe ist, ob die
> Aufgabenstellung so überhaupt richtig ist. Müsste es sich
> nicht immer um [mm](\IZ/p\IZ)^{x}[/mm] bzw. [mm](\IF_{p})^{x}handeln,[/mm] da
> doch erzeugende Elemente für die Einheitengruppe definiert
> sind oder habe ich das falsch verstanden?
Die additive Gruppe von [mm] F_{p} [/mm] hat auch erzeugende Elemente, dann würde man aber wohl g+h untersuchen, und in beiden Fällen wäre der Satz falsch. In ([mm]Z_{5}[/mm], +) ist 2 erz. Element, aber 2+2 = 2*2 auch.
> Nun denn, ich nehme mal an dass es sich um [mm](\IF_{p})^{x}[/mm]
> handelt. Ich dachte an folgenden Beweis, der aber so nicht
> hinhaut:
>
> Sei g,h erzeugende Elemente von [mm](\IF_{p})^{x}.[/mm] Dann gilt
> für g bzw. g': [mm]g^{(p-1)}modp[/mm] = 1 bzw. [mm]h^{(p-1)}modp[/mm] = 1.
> Das habe ich aus dem Satz von Lagrange abgeleitet, denn aus
> diesem folgt ja für eine endliche Gruppe G und ein a in G,
> dass [mm]a^{|G|}[/mm] = e, wobei e das neutrale Element ist und |G|
> die Ordnung von G bezeichnet. Da in [mm](\IF_{p})^{x}[/mm] p-1
> Elemente liegen folgt doch das oben, oder?
>
> Meine Beweisidee war jetzt folgende, unter der Annahme,
> dass gh ein erzeugendes Element ist, müsste doch auch
> gelten [mm](gh)^{(p-1)}modp[/mm] = 1. Ich wollte zeigen, dass es
> nicht gilt. Aber ich kriege es so raus, genauer:
>
> [mm](gh)^{(p-1)}modp[/mm] = [mm]g^{(p-1)}h^{(p-1)}modp[/mm] = [mm]g^{(p-1)}modp* h^{(p-1)}modp[/mm]
> = 1 * 1 = 1.
Klar kriegst du das raus, weil es doch für jedes Element gilt, also auch für gh. Der Dreh bei einem primitiven Element ist doch, daß p-1 der kleinste Exponent ist, für den das gilt.
Aber jetzt der Hinweis: Wenn g primitiv ist, dann ist h auch eine Potenz von g. Große und wichtige Frage: Was kannst du über den zugehörigen Exponenten von g sagen? Wenn du es so nicht weiß, solltest du mal mit p=5 und p=7 herumexperimentieren, vielleicht kommt dir dann eine Idee.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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> Hi Steffen!
Hallo,
> Klar kriegst du das raus, weil es doch für jedes Element
> gilt, also auch für gh. Der Dreh bei einem primitiven
> Element ist doch, daß p-1 der kleinste Exponent ist, für
> den das gilt.
ja, sorry.
> Aber jetzt der Hinweis: Wenn g primitiv ist, dann ist h
> auch eine Potenz von g. Große und wichtige Frage: Was
> kannst du über den zugehörigen Exponenten von g sagen? Wenn
> du es so nicht weiß, solltest du mal mit p=5 und p=7
> herumexperimentieren, vielleicht kommt dir dann eine Idee.
auf jeden Fall müsste der Exponent kleiner p-1 sein, denn ansonsten wäre g ja kein erzeugendes Element, genauer h ist in [mm] {g^{0},...,g^{p-1}}. [/mm] Bei den Beispielen die ich jetzt gerechnet habe (mit Z/11Z und Z/5Z) ist [mm] g^{p-2} [/mm] = h (bei Z/5Z ist z.B. [mm] 2^{3} [/mm] = 3), aber ist das eine allgemeine Regel? Wäre der Beweis dann das folgende:
gh = [mm] g^{1}*g^{p-2} [/mm] = [mm] g^{1+p-2} [/mm] = [mm] g^{p-1} [/mm] = 1 (bzw. allgemein e per Def.) und e kann kein erzeugendes Element sein, denn [mm] e^{x} [/mm] = e für alle x in Z und [mm] \IF_{p} [/mm] mit p > 2.
Meintest du es so.
> Gruß aus HH-Harburg
Gruß aus Leipzig
Steffen
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:14 Mo 30.04.2007 | | Autor: | statler |
Hi!
> auf jeden Fall müsste der Exponent kleiner p-1 sein, denn
> ansonsten wäre g ja kein erzeugendes Element, genauer h ist
> in [mm]{g^{0},...,g^{p-1}}.[/mm] Bei den Beispielen die ich jetzt
> gerechnet habe (mit Z/11Z und Z/5Z) ist [mm]g^{p-2}[/mm] = h (bei
> Z/5Z ist z.B. [mm]2^{3}[/mm] = 3), aber ist das eine allgemeine
> Regel? Wäre der Beweis dann das folgende:
Jetzt hast du einfach für h das zu g inverse Element genommen! Das ist dann ebenfalls ein erzeugendes Element, aber als Beweis reicht das natürlich nicht, denn h soll ein beliebiges erzeugendes Element sein, könnte also z. B. auch gleich g sein.
Nimm noch mal Z/11Z, bestimme die primitiven Elemente (es gibt 4) und schreib sie als Potenzen eines von ihnen (z. B. der 2) hin. Dann guck dir die Exponenten an und überleg, was sie mit der Gruppenordnung zu tun haben könnten.
Sonnige Grüße nach Sachsen
Dieter
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Also habe es jetzt gemacht, wie du gesagt hast. In Z/11Z sind die erzeugenden Elemente 2,6,7,8. Nun ist 2 = [mm] 2^{1}, [/mm] 6 = [mm] 2^{9}, [/mm] 7 = [mm] 2^{7} [/mm] und 8 = [mm] 2^{3}. [/mm] Was mir spontan auffällt ist, dass die Potenzen alle teilerfremd sind zur Ordnung der Einheitengruppe (= 10), also ggt(p-1,k) = 1. Das gilt auch für Z/5Z. Ist es das was du meinst? Wenn nicht, dann werfe ich das Algebra-Buch in Müll :). Aber wie geht es jetzt weiter?
Grüße, Steffen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:49 Mo 30.04.2007 | | Autor: | statler |
> Also habe es jetzt gemacht, wie du gesagt hast.
Endlich, das wurde auch Zeit 
> In Z/11Z
> sind die erzeugenden Elemente 2,6,7,8. Nun ist 2 = [mm]2^{1},[/mm] 6
> = [mm]2^{9},[/mm] 7 = [mm]2^{7}[/mm] und 8 = [mm]2^{3}.[/mm] Was mir spontan auffällt
> ist, dass die Potenzen alle teilerfremd sind zur Ordnung
> der Einheitengruppe (= 10), also ggt(p-1,k) = 1. Das gilt
> auch für Z/5Z. Ist es das was du meinst?
Ja genau!
> Wenn nicht, dann
> werfe ich das Algebra-Buch in Müll :).
Welches ist es denn?
> Aber wie geht es
> jetzt weiter?
Jetzt mußt du diese Beobachtung noch in einen logisch stringenten Beweis gießen, der für alle p > 2 gilt!
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:57 Mo 30.04.2007 | | Autor: | steffenhst |
> Endlich, das wurde auch Zeit
>
gut.
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> Welches ist es denn?
Ich studiere an der Fernuni im Abendstudium Mathe, da kriegt man ein Skript zugeschickt und muss dann Aufgaben einschicken. Hätte also das Skript verbrannt.
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> > Aber wie geht es
> > jetzt weiter?
>
> Jetzt mußt du diese Beobachtung noch in einen logisch
> stringenten Beweis gießen, der für alle p > 2 gilt!
Danke, hehe! Mache ich dann heute Abend. Vielleicht melde ich mich morgen nochmal.
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> Gruß aus HH-Harburg
> Dieter
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Von mir auch und Danke.
Steffen
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