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| Aufgabe | Die folgenden Aussagen (1), (3) und (4) seien äquivalent zueinander; (1) impliziert (2), aber aus (2) folgt entweder (1) oder n=p ³, wenn d=p(p− 1) für eine Primzahl p oder [mm] \sigma [/mm] (n) = 2( n+ 1), wenn d=n − 1 mit ungeradem n.
(1) n=p(p+d), wobei p,p+d sind ungerade Primzahlen
(2) [mm] \sigma [/mm] (n)= n+1+2 [mm] \wurzel{n+\bruch{d}{2}^2} [/mm] , für d [mm] \in 2\IN
[/mm]
(3) [mm] \phi [/mm] (n) = n +1 - 2 [mm] \wurzel{n+\bruch{d}{2}^2} [/mm] , für d [mm] \in 2\IN
[/mm]
(4) [mm] \sigma [/mm] (n) - [mm] \phi [/mm] (n) =4 [mm] \wurzel{n+\bruch{d}{2}^2} [/mm] , für d [mm] \in 2\IN
[/mm]
Tip für den Beweis:
Schreibe a:= [mm] \wurzel{n+\bruch{d}{2}^2}. [/mm] Außerdem n>1, und da [mm] (a+\bruch{d}{2})(a-\bruch{d}{2}) [/mm] ein Produkt zweier ganzer Zahlen ist, ist n [mm] \not\equiv [/mm] 2 (mod 4). Weiterhin impliziert a - [mm] \bruch{d}{2}, [/mm] dass 2a=n+1 und d=n-1. |
Ich sitze seit Tagen an den Beweisen
1 [mm] \to [/mm] 2
1 [mm] \to [/mm] 3
1 [mm] \to [/mm] 4 und komme nicht weiter.
Die Prämisse ist (1) n=p(p+d), wobei p,p+d sind ungerade Primzahlen.
Ich muss also irgendwie die Formeln in einer Gleichungskette umformen, so dass ich hinterher auf die entsprechende Behauptung (2),(3), oder (4) komme.
Was muss ich wie ersetzen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:27 Sa 13.11.2010 | | Autor: | moudi |
Hallo Susanne
Beginne mit n=pq, wobei q>p ungerade Primzahlen sind.
Dann weisst dass, [mm] $\sigma(n)=\ldots\quad\phi(n)=\ldots\quad\sigma(n)-\phi(n)=\ldots$.
[/mm]
Daraus kanns du leicht entnehmen, dass du noch [mm] $\frac{p+q}2=\sqrt{n+\frac{d^2}2}\ [/mm] \ [mm] (\ast)$ [/mm] nachweisen musst, und du hast [mm] $(1)\Rightarrow [/mm] (2),(3),(4)$ nachgewiesen.
Um [mm] $(\ast)$ [/mm] nachzuweisen, setzt du $q=p+d$ in $n=pq$ ein und du erhaelst eine quadratische Gleichung fuer p, die du loesen kannst. Von den beiden Loesungen ist eine positiv und eine negativ (Satz von Vieta ueber das Produkt der Loesungen), also ist p die positive Loesung der quadratischen Gleichungn. Dann setzt du sowohl $q=p+d$ und nachher [mm] $p=\dots$ [/mm] in [mm] $\frac{p+q}2$ [/mm] ein und du solltest dann
[mm] $\frac{p+q}2=\sqrt{n+\frac{d^2}2}$ [/mm] bekommen.
Die angegebenen Tipps sind fuer die Umkehrung [mm] $(2),(3),(4)\Rightarrow [/mm] (1) $ zu benutzen.
mfG Moudi
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Meinst du damit:
(1) [mm] \to [/mm] (2)
[mm] \sigma(n)= [/mm] pq + 1 + [mm] 2(pq+(\bruch{d}{2})^2)
[/mm]
=p(p+d) + 1 + [mm] 2(p(p+d)+(\bruch{d}{2})^2)
[/mm]
= n + 1 + 2 + [mm] 2(p^2 [/mm] + pd + [mm] (\bruch{d}{2})^2)
[/mm]
= n + 1 + 2 + 2 (p + [mm] \bruch{d}{2})^2
[/mm]
= n + 1 + 2 + 2 [mm] (\bruch{p + p + d}{2})^2
[/mm]
= n + 1 + 2 + 2 [mm] (\bruch{p+q}{2})^2
[/mm]
Ich habe jetzt noch nicht verstanden, wie ich nun von 2 [mm] (\bruch{p+q}{2})^2 [/mm] auf [mm] 2\wurzel{n + (\bruch{d}{2})^2} [/mm] kommen soll.
Zudem hat sich bei mir noch ein weiteres Problem ergeben zu (2) [mm] \to [/mm] [(1) oder [mm] n=p^3, [/mm] wenn d=p(p-1) für eine Primzahl p oder [mm] \sigma(n)=2n [/mm] + 2, wenn d=n-1 für ungerade n]
Ich mache hierzu eine Fallunterscheidung:
1. Fall: (2) [mm] \to [/mm] (1)
2. Fall: (2) [mm] \to n=p^3, [/mm] wenn d=p(p-1) für eine Primzahl p
3. Fall: (2) [mm] \to \sigma(n)=2n [/mm] + 2, wenn d=n-1 für ungerade n
Für alle Fälle gelte (2) [mm] \sigma(n)=n+1+2\wurzel{n+(\bruch{d}{2})^2}. [/mm]
Wie gehe ich bei den Fallunterscheidungen vor, um auf meine Behauptung zu kommen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:24 Sa 13.11.2010 | | Autor: | moudi |
> Meinst du damit:
> (1) [mm]\to[/mm] (2)
> [mm]\sigma(n)=[/mm] pq + 1 + [mm]2(pq+(\bruch{d}{2})^2)[/mm]
> =p(p+d) + 1 + [mm]2(p(p+d)+(\bruch{d}{2})^2)[/mm]
> = n + 1 + 2 + [mm]2(p^2[/mm] + pd + [mm](\bruch{d}{2})^2)[/mm]
> = n + 1 + 2 + 2 (p + [mm]\bruch{d}{2})^2[/mm]
> = n + 1 + 2 + 2 [mm](\bruch{p + p + d}{2})^2[/mm]
> = n + 1 + 2 + 2
> [mm](\bruch{p+q}{2})^2[/mm]
Nein, das meine ich nicht. Irgendwo musst du doch die Definitionen von [mm] $\sigma(n)$ [/mm] und [mm] $\phi(n)$ [/mm] benutzen. Die hast du nirgends verwendet. Dann kanns du auch den Beweis nicht fuehren.
Was ist [mm] $\sigma(n)$, [/mm] wenn n=pq das Produkt zweier verschiedenen Primzahlen ist und was ist [mm] $\phi(n)$ [/mm] in diesem Fall.
>
> Ich habe jetzt noch nicht verstanden, wie ich nun von 2
> [mm](\bruch{p+q}{2})^2[/mm] auf [mm]2\wurzel{n + (\bruch{d}{2})^2}[/mm]
> kommen soll.
>
>
> Zudem hat sich bei mir noch ein weiteres Problem ergeben zu
> (2) [mm]\to[/mm] [(1) oder [mm]n=p^3,[/mm] wenn d=p(p-1) für eine Primzahl p
> oder [mm]\sigma(n)=2n[/mm] + 2, wenn d=n-1 für ungerade n]
> Ich mache hierzu eine Fallunterscheidung:
> 1. Fall: (2) [mm]\to[/mm] (1)
> 2. Fall: (2) [mm]\to n=p^3,[/mm] wenn d=p(p-1) für eine Primzahl
> p
> 3. Fall: (2) [mm]\to \sigma(n)=2n[/mm] + 2, wenn d=n-1 für
> ungerade n
> Für alle Fälle gelte (2)
> [mm]\sigma(n)=n+1+2\wurzel{n+(\bruch{d}{2})^2}.[/mm]
> Wie gehe ich bei den Fallunterscheidungen vor, um auf meine
> Behauptung zu [mm] kommen?\
[/mm]
mfG Moudi
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Also, [mm] \sigma(n) [/mm] steht für die Summe der Teiler von n, und wenn n ein Produkt aus einem Primzahlzwillingspaar ist, gelten die angegebenen Behauptungen.
[mm] \phi(n) [/mm] steht für die Eulersche [mm] \phi-Funktion, [/mm] d.h. das Produkt der Teiler von n, wenn diese ein Primzahlzwillingspaar sind
Das Primzahlzwillingspaar besteht aus den Primzahlen p und p+d, allgemein bekannt mit d=2, wie das Paar (3, 5).
Richtig?
In meiner Aufgabe habe ich nun auch die Prämisse, dass mein n ein Produkt aus p und p+d ist
Also ergibt sich bei Addition der Teiler von n: 1, n, p, p+d:
[mm] \sigma(n)= [/mm] n+1+p+p+d
= [mm] n+1+2(p+\bruch{d}{2})
[/mm]
=???
Mir ist ab hier nicht klar, wie ich auf die wurzel kommen soll mit [mm] 2\wurzel{n+(\bruch{d}{2})^2}.
[/mm]
Für die Multiplikation gilt, dass die Teiler von n: [mm] (\wurzel{n+(\bruch{d}{2})^2} [/mm] + [mm] \bruch{d}{2}^2) [/mm] und [mm] (\wurzel{n+(\bruch{d}{2})^2} [/mm] - [mm] \bruch{d}{2}^2)
[/mm]
Also ergibt sich für die Multiplikation:
[mm] \phi(n)=(\wurzel{n+(\bruch{d}{2})^2} [/mm] + [mm] \bruch{d}{2})(\wurzel{n+(\bruch{d}{2})^2} [/mm] - [mm] \bruch{d}{2}),
[/mm]
ab hier kann man am besten den gegebenen Tip nutzen, die Wurzel durch a zu ersetzen, damit bleibt
[mm] \phi(n)=(a-\bruch{d}{2})(a+\bruch{d}{2})
[/mm]
= [mm] a^2 [/mm] - [mm] (\bruch{d}{2})^2
[/mm]
= ???
ab hier verläßt es mich leider, ich muss irgend etwas ergänzen, da ich nach Vor. weiß, dass z.B. 2a=n+1, [mm] a-\bruch{d}{2}=1 [/mm] und d=n-1 ist.
Denke ich denn in eine so falsche Richtung?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:57 So 14.11.2010 | | Autor: | moudi |
Hallo Susanne
Wenn n=pq das Produkt zweier verschiedener Primzaheln ist, dann sind die Teiler von n die Zahlen pq, p, q, 1 also gilt [mm] $\sigma(n)=pq+p+q+1=n+1+2\frac{p+q}2$ [/mm] (es wurde pq=n verwendet).
Wenn man das mit der Behauptung vergleicht, dann sieht man, dass man noch [mm] $\frac{p+q}2=\sqrt{n+\frac{d^2}4}$ [/mm] nachweisen muss.
Um [mm] $\phi(n)$ [/mm] zu bestimmen schaut man sich die Zahlen an, die nicht zu n teilerfremd sind. Das sind einerseits die Vielfachen von [mm] p:$\{p,2p,3p,\dots,qp\}$ [/mm] und andrerseits die Vielfachen von [mm] q:$\{q,2q,3q,\dots,pq\}$. [/mm] Diese beiden Mengen haben genau ein gemeinsames Element (p und q sind verschiedene Primzahlen). Deshalb gibt es p+q-1 nicht teilerfremde Zahlen und damit $n-p-q+1$ zu n teilerfremde Zahlen von 1 bis n. Es gilt in diesem Fall daher [mm] $\phi(n)=n+1-2\frac{p+q}2$. [/mm] Wieder sieht man dass man das gleiche nachweisen muss wie vorher.
Fuer 4. ist es genau gleich, da nach dem vorher gesagten [mm] $\sigma(n)-\phi(n)=4\frac{p+q}2$ [/mm] ist.
Da du meine Tipps nicht beherzigst, rechne ich hier mal weiter vor: Es sei jetzt $q=p+d$ die groessere Primzahl, dann gilt$n=p(p+d)$ oder [mm] $p^2+pd-n=0$. [/mm] Das ist eine quadratische Gleichung fuer p. Nach dem Satz von Vieta ist das Produkt der beiden Loesungen [mm] $p_1\cdot p_2=-n$ [/mm] negativ, deshalb ist p die positive Loesung der Gleichung [mm] $p=\frac{-d+\sqrt{d^2+4n}}2=-\frac d2+\sqrt{n+\frac{d^2}4}$.
[/mm]
Andrerseits gilt [mm] $\frac{p+q}2=\frac{p+p+d}2=p+\frac [/mm] d2$. Das obere Resultat eingesetzt, so ergibt sich [mm] $\frac{p+q}2=\sqrt{n+\frac{d^2}4}$.
[/mm]
Damit sind die Implikationen [mm] $(1)\Rightarrow [/mm] (2),(3),(4)$ nachgewiesen.
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