Produktionsfunktion < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:15 Di 16.04.2013 | | Autor: | lemrm |
| Aufgabe | Ein Unternehmen hat die folgende Produktionsfunktion
P ( A , K ) = 90 * [mm] A^{0,8} [/mm] * [mm] K^{0,2} [/mm] ; A,K>0.
Dabei bezeichnen A die Anzahl der Arbeitsstunden, K das eingesetzte Kapital in GE und P den Output in ME.
a) Ermitteln Sie die Höhenlinie zum Niveau 63.900 ME. Interpretieren Sie in diesem
Zusammenhang den Begriff der Höhenlinie.
b) Bestimmen Sie die partiellen Ableitungen erster Ordnung der Produktionsfunktion
(Grenzproduktivität der Arbeit bzw. Grenzproduktivität des Kapitals.)
c) Berechnen und interpretieren Sie die Grenzproduktivität des Kapitals für A=1000
Stunden und K=200 GE.
d) Bestimmen und interpretieren Sie die partielle Elastizität der Produktion bezüglich der Arbeit. (Sachbezug beachten)
e) Zeigen Sie, dass die Produktionsfunktion keine relativen Extremwerte besitzt. |
Kann diese Aufgabe bitte jemand mit mir durchgehen? Ich habe zu dem Thema komplett gefehlt. Ich hab versucht es in geogebra abzubilden, ist mir aber nicht gelungen. Wenn also auch hier jemand eine Idee hat, bitte gern.
Ich habe also erst mal versucht, die Gleichung nach K aufzulösen.
[mm] 63900=90*A^{8/10}*K^{2/10}
[/mm]
[mm] 710/A^{4/5}=K^{1/5}
[/mm]
[mm] (710/A^{4/5})^5=K
[/mm]
Wie löst man das richtig auf?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo lemrm und erstmal herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Ein Unternehmen hat die folgende Produktionsfunktion
> P ( A , K ) = 90 * [mm]A^{0,8}[/mm] * [mm]K^{0,2}[/mm] ; A,K>0.
> Dabei bezeichnen A die Anzahl der Arbeitsstunden, K das
> eingesetzte Kapital in GE und P den Output in ME.
> a) Ermitteln Sie die Höhenlinie zum Niveau 63.900 ME.
> Interpretieren Sie in diesem
> Zusammenhang den Begriff der Höhenlinie.
> b) Bestimmen Sie die partiellen Ableitungen erster
> Ordnung der Produktionsfunktion
> (Grenzproduktivität der Arbeit bzw.
> Grenzproduktivität des Kapitals.)
> c) Berechnen und interpretieren Sie die
> Grenzproduktivität des Kapitals für A=1000
> Stunden und K=200 GE.
> d) Bestimmen und interpretieren Sie die partielle
> Elastizität der Produktion bezüglich der Arbeit.
> (Sachbezug beachten)
> e) Zeigen Sie, dass die Produktionsfunktion keine
> relativen Extremwerte besitzt.
>
> Kann diese Aufgabe bitte jemand mit mir durchgehen? Ich
> habe zu dem Thema komplett gefehlt. Ich hab versucht es in
> geogebra abzubilden, ist mir aber nicht gelungen. Wenn also
> auch hier jemand eine Idee hat, bitte gern.
>
> Ich habe also erst mal versucht, die Gleichung nach K
> aufzulösen.
>
> [mm]63000=90*A^{8/10}*K^{2/10}[/mm]
Oben steht noch was vom Niveau [mm]63\red 900[/mm] ...
>
> [mm]700/A^{4/5}=K^{1/5}[/mm]
Oder 710 - je nachdem ...
>
> [mm](700/A^{4/5})^5=K[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Nun, das ist gem. Potenzgesetzen [mm]K=\frac{700^5}{A^4}[/mm] (bzw. [mm]710^5[/mm] im Zähler)
Den Zahlenwert kannst du noch berechnen ...
>
> Wie löst man das richtig auf?
Das hast du schon richtig gemacht ...
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:21 Di 16.04.2013 | | Autor: | lemrm |
> Nun, das ist gem. Potenzgesetzen [mm]K=\frac{710^5}{A^4}[/mm]
kannst du mir bitte noch mal die Herleitung nach den Potenzgesetzen machen? Ich versteh und finde es nicht und kann es nicht nachvollziehen.
Danke und viele Grüße
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Hallo nochmal,
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> > Nun, das ist gem. Potenzgesetzen [mm]K=\frac{710^5}{A^4}[/mm]
>
> kannst du mir bitte noch mal die Herleitung nach den
> Potenzgesetzen machen? Ich versteh und finde es nicht und
> kann es nicht nachvollziehen.
Oh weh 
Dann ist es zu lange her
Nun, wir brauchen [mm]\left(a^m\right)^n=a^{m\cdot{}n}[/mm] und [mm]\left(\frac{a}{b}\right)^m=\frac{a^m}{b^m}[/mm]
Also [mm]\left(\frac{710}{A^{4/5}}\right)^5=\frac{710^5}{\left(A^{4/5}\right)^5}[/mm] nach dem zweiten Gesetz
Nun du weiter mit dem ersten für den Nenner ...
>
> Danke und viele Grüße
Zurück!
schachuzipus
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:41 Di 16.04.2013 | | Autor: | lemrm |
... und wie fkt. das jetzt weiter mit der Höhenlinie?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:07 Mi 17.04.2013 | | Autor: | meili |
Hallo,
> ... und wie fkt. das jetzt weiter mit der Höhenlinie?
Wenn Du Dir die angegebene Produktionfunktion, in einem 3-dimensionalen
Diagramm vorstellst mit A und K an den beiden Achsen in der waagrechten und
P in der senkrechten aufgetragen, kann zu jedem Wert für P eine Höhenlinie
auf das "Gebirge" des Funktionsgraphen eingezeichnet werden.
Bei dieser Aufgabe wird die Höhenlinie für P = 63900 betrachtet.
Mit der Auflösung der Funktionsgleichung nach K (für P = 63900),
bekommst Du die Abhängigkeit von K von A für den konstanten Output P = 63900.
Der Graph dieser Funktion ist die Projektion der Höhenlinie in die A-K-Ebene.
Gruß
meili
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 10:31 Mi 17.04.2013 | | Autor: | lemrm |
... wie das ungefähr mit dem 3d Graphen kann ich mir noch vorstellen. Wie aber die Fkt. aussieht, hab keine Vorstellung. Wo oder mit welcher Software kann man so was visualisieren. Meine 2d Sachen habe ich bis dato mit geogebra gemacht. Nicht ganz klar ist mir, wie ich den Graphen machen würde. Muss man das noch irgendwie einsetzen?
[mm]P(A,K)=90*A^{0,8}*K^{0,2}[/mm]
oder
[mm]K=\frac{710^5}{A^4}[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Fr 19.04.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:38 Di 16.04.2013 | | Autor: | lemrm |
> Hallo lemrm und erstmal herzlich ,
>
>
> > Ein Unternehmen hat die folgende Produktionsfunktion
> > P ( A , K ) = 90 * [mm]A^{0,8}[/mm] * [mm]K^{0,2}[/mm] ; A,K>0.
> > Dabei bezeichnen A die Anzahl der Arbeitsstunden, K das
> > eingesetzte Kapital in GE und P den Output in ME.
> > a) Ermitteln Sie die Höhenlinie zum Niveau 63.900 ME.
> > Interpretieren Sie in diesem
> > Zusammenhang den Begriff der Höhenlinie.
> > b) Bestimmen Sie die partiellen Ableitungen erster
> > Ordnung der Produktionsfunktion
> > (Grenzproduktivität der Arbeit bzw.
> > Grenzproduktivität des Kapitals.)
> > c) Berechnen und interpretieren Sie die
> > Grenzproduktivität des Kapitals für A=1000
> > Stunden und K=200 GE.
> > d) Bestimmen und interpretieren Sie die partielle
> > Elastizität der Produktion bezüglich der Arbeit.
> > (Sachbezug beachten)
> > e) Zeigen Sie, dass die Produktionsfunktion keine
> > relativen Extremwerte besitzt.
> >
> > Kann diese Aufgabe bitte jemand mit mir durchgehen? Ich
> > habe zu dem Thema komplett gefehlt. Ich hab versucht es
> in
> > geogebra abzubilden, ist mir aber nicht gelungen. Wenn
> also
> > auch hier jemand eine Idee hat, bitte gern.
> >
> > Ich habe also erst mal versucht, die Gleichung nach K
> > aufzulösen.
> >
> > [mm]63000=90*A^{8/10}*K^{2/10}[/mm]
>
> Oben steht noch was vom Niveau [mm]63\red 900[/mm] ...
>
> >
> > [mm]700/A^{4/5}=K^{1/5}[/mm]
>
> Oder 710 - je nachdem ...
>
> >
> > [mm](700/A^{4/5})^5=K[/mm]
>
> Nun, das ist gem. Potenzgesetzen [mm]K=\frac{700^5}{A^4}[/mm] (bzw.
> [mm]710^5[/mm] im Zähler)
>
zu c.) Wie ist das zu interpretieren
c.)P'(1000,200)=18000^(4/5)/200(4/5) = (18000/200)^(4/5) = 900^(4/5) = 720
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:57 Mi 17.04.2013 | | Autor: | meili |
Hallo,
> > > P ( A , K ) = 90 * [mm]A^{0,8}[/mm] * [mm]K^{0,2}[/mm] ; A,K>0.
> > > Dabei bezeichnen A die Anzahl der Arbeitsstunden, K
> das
> > > eingesetzte Kapital in GE und P den Output in ME.
...
> > > Grenzproduktivität des Kapitals.)
> > > c) Berechnen und interpretieren Sie die
> > > Grenzproduktivität des Kapitals für A=1000
> > > Stunden und K=200 GE.
>
> zu c.) Wie ist das zu interpretieren
>
> c.)P'(1000,200)=18000^(4/5)/200(4/5) = (18000/200)^(4/5) =
> 900^(4/5) = 720
>
>
Leider ging da mit den Potenzen einiges durcheinander.
[mm] $\bruch{\partial P}{\partial K}(A,K) [/mm] = [mm] 90*0,2*A^{0,8}*K^{0,2-1} [/mm] = [mm] 18*\left(\bruch{A}{K}\right)^{\bruch{4}{5}}$
[/mm]
[mm] $\bruch{\partial P}{\partial K}(1000,200) [/mm] = [mm] 18*\left(\bruch{1000}{200}\right)^{\bruch{4}{5}} [/mm] = [mm] 18*5^{0,8} \approx [/mm] 65,23 $
(Leider ergibt das dann kein so schön glattes Ergebnis.)
Interpretation: Wird bei 1000 Arbeitsstunden und 200 GE Kapitaleinsatz
der Kapitaleinsatz um eine GE erhöht, erhöht sich der Output ungefähr um 65,23 ME.
Gruß
meili
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:00 Mi 17.04.2013 | | Autor: | lemrm |
... Mist ... Reihenfolge beim auflösen nicht eingehalten
... kannst du mir bei d.) auch noch weiterhelfen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:13 Mi 17.04.2013 | | Autor: | meili |
Hallo,
Die partielle Elastizität der Produktion bezüglich der Arbeit [mm] $\varepsilon_{P,A} [/mm] = [mm] \bruch{\partial P}{\partial A}*\bruch{A}{P}$
[/mm]
In die Formel einsetzen und soweit wie möglich zusammenfassen und kürzen.
Vergleiche ![[]](/images/popup.gif) Elastizität(Wikipedia) auch zur Interpretation.
Gruß
meili
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