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Produktregel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:22 Di 22.02.2011
Autor: hilbert

Ich soll zeigen, dass die nte Ableitung folgendermaßen gilt:

[mm] (f*g)^{(n)} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n}\vektor{n \\ i}f^{(n)}g^{(n-i)} [/mm]

Per Induktion ist dies ja zu lösen.

Das "schwierige" ist nur der Induktionsschritt:

[mm] (f*g)^{(n+1)} [/mm] = [mm] \bruch{d}{dx}((f*g)^{(n)}) [/mm]

=  [mm] \bruch{d}{dx} [/mm] (  [mm] \summe_{i=1}^{n}\vektor{n \\ i}f^{(n)}g^{(n-i)}) [/mm]

Wie bekomme ich das jetzt so aufgelöst dass ich nur noch die Summe  dastehen habe und mit dieser weiterrechnen kann?

Vielen Dank im Voraus


        
Bezug
Produktregel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:42 Di 22.02.2011
Autor: schachuzipus

Hallo hilbert,

> Ich soll zeigen, dass die nte Ableitung folgendermaßen
> gilt:
>
> [mm](f*g)^{(n)}[/mm] = [mm]\summe_{i=1}^{n}\vektor{n \\ i}f^{(\red{n})}g^{(n-i)}[/mm]

Geht das nicht bei [mm]i=0[/mm] los?

Außerdem muss da [mm]f^{(\red{i})}(x)[/mm] stehen!

>
> Per Induktion ist dies ja zu lösen.
>
> Das "schwierige" ist nur der Induktionsschritt:

Das stimmt ;-)

>
> [mm](f*g)^{(n+1)}[/mm] = [mm]\bruch{d}{dx}((f*g)^{(n)})[/mm] [ok]
>
> = [mm]\bruch{d}{dx}[/mm] ( [mm]\summe_{i=1}^{n}\vektor{n \\ i}f^{(\red{i})}g^{(n-i)})[/mm]
>
> Wie bekomme ich das jetzt so aufgelöst dass ich nur noch
> die Summe dastehen habe und mit dieser weiterrechnen
> kann?

[mm]=\sum\limits_{i=0}^{n}\vektor{n\\ i}\cdot{}\left(f^{(i+1)}(x)g^{(n-i)}(x)+f^{(i)}(x)g^{(n+1-i)}(x)\right)[/mm] nach Produktregel.

Nun ziehe die Summe distributiv auseinander.

Dann ziehe aus der ersten Summe den ersten Summanden heraus. bei der zweiten Summe mache eine Indexverschiebung (Laufindex um 1 erhöhen).

Dort dann den letzten Summanden (für [mm]i=n+1[/mm]) rausziehen.

Dann kannst du die Summen wieder zusammenfügen.

Beachte dabei die Regel für die Binomialkoeffizienten:

[mm]\vektor{n\\ i}+\vektor{n\\ i-1}=\vektor{n+1\\ i}[/mm]



>
> Vielen Dank im Voraus
>

Gruß

schachuzipus


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