Produktregel ohne Grenzwert < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei R ein Ring. Wir definieren die formale Ableitung auf dem Polynomring
R[X] wie folgt. Sei f(X) [mm] =\summe_{n=0}^{d} a_{n}x^{n}. [/mm] Setze f'(X) = [mm] \summe_{n=1}^{d} n*a_{n}x^{n-1}. [/mm]
Beweisen Sie:
(fg)' = f'g + fg' |
Hallo,
die Produkthilfe mit Hilfe der Grenzwerte zu beweisen ist mir klar und auch recht einfach durchführbar. Bei dieser Aufgabe will der Prof aber, dass wir nur mit Hilfe der gegebenen Bedingungen den Beweis durchführen. Kann ich also die Summenschreibweise etc. so umformen, dass sie auch daraus die Produktregel ergibt?
Liebe Grüße
Sabine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:37 So 26.12.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sabine,
> Sei R ein Ring. Wir definieren die formale Ableitung auf
> dem Polynomring
> R[X] wie folgt. Sei f(X) [mm]=\summe_{n=0}^{d} a_{n}x^{n}.[/mm]
> Setze f'(X) = [mm]\summe_{n=1}^{d} n*a_{n}x^{n-1}.[/mm]
> Beweisen Sie:
> (fg)' = f'g + fg'
> Hallo,
> die Produkthilfe mit Hilfe der Grenzwerte zu beweisen ist
> mir klar und auch recht einfach durchführbar. Bei dieser
> Aufgabe will der Prof aber, dass wir nur mit Hilfe der
> gegebenen Bedingungen den Beweis durchführen. Kann ich
> also die Summenschreibweise etc. so umformen, dass sie auch
> daraus die Produktregel ergibt?
ich würde so ansetzen:
Seien $f,g [mm] \in R[X]\,,$ [/mm] dann gibt es $p,q [mm] \in \IN_0$ [/mm] so, dass man mit gewissen [mm] $a_n\,, b_k$ [/mm] schreiben kann
[mm] $$f(x)=\sum_{n=0}^p a_n x^n$$
[/mm]
und
[mm] $$g(x)=\sum_{k=0}^q b_k x^k\,.$$
[/mm]
Dann ist
[mm] $$f'(x)=\sum_{n=1}^p n\; a_n x^{n-1}$$
[/mm]
und
[mm] $$g'(x)=\sum_{k=1}^q [/mm] k [mm] b_k\; x^{k-1}\,.$$
[/mm]
Damit kannst Du sicher [mm] $f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\,$ [/mm] schonmal angeben. Nun musst Du noch
[mm] $$f(x)\cdot [/mm] g(x)$$
in eine Darstellung
[mm] $$\sum_{l=0}^r c_l x^l$$
[/mm]
bringen und nach obiger Regel ableiten. Danach vergleichen.
P.S.:
Mach' Dir das ganze auch mal an einem elementaren Beispiel klar. Wenn Du
[mm] $$f(x)=2x^2+x+1$$
[/mm]
hast und
[mm] $$g(x)=4x^4+3x^3+x^2+7\,:$$
[/mm]
Die obige Regel besagt dann, dass Du [mm] $f'\,$ [/mm] und [mm] $g'\,$ [/mm] durch die gewohnte Ableitungsregel(n) erhältst. Und wie sieht nun
[mm] $$f(x)\cdot [/mm] g(x)$$
aus? Und wenn Du das Polynom dann hingeschrieben hast: Leite es danach nach der vorgegebenen Regel ab.
P.S.:
Wenn Du das Summenzeichen noch nicht so gewohnt bist, rechne halt erstmal formal so:
$$f(x) [mm] \cdot g(x)=(a_p x^p+a_{p-1}x^{p-1}+\ldots [/mm] + [mm] a_0) \cdot (b_q x^q [/mm] + [mm] b_{q-1} x^{q-1}+\ldots+b_0)=a_p b_qx^{p+q}+(a_{p-1} b_q+a_p b_{q-1})x^{p+q-1}+(\ldots+\ldots+\ldots)x^{p+q-2}+\ldots$$
[/mm]
Du siehst dann, dass Du im Endeffekt sowas schreiben kannst:
[mm] $$f(x)*g(x)=\sum_{l=0}^{p+q}x^{l}*\blue{\big(\sum\limits_{\substack{(v,w) \in \{0,\ldots,\,p\} \times \{0,\ldots,q\}\\v+w=l}}a_v b_w\big)}\,,$$
[/mm]
wobei man die letztstehende Summe vielleicht (?) dann noch ein wenig eleganter schreiben kann - was man aber eigentlich auch nicht machen muss.
Feierliche Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:06 Mi 29.12.2010 | | Autor: | Sabine_B. |
Vielen Dank für deine Hilfe  - du hast mir wirklich weiter geholfen.
Ich wünsche dir nen guten Rutsch ins neue Jahr.
Liebe Grüße
Sabine
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Oh man, leider habe ich doch noch einmal eine Frage. Die Sache mit der Produktregel habe ich jetzt verstanden, aber wie sieht das denn bei der Addition aus? Angenommen, ich habe:
[mm] f(x)=\summe_{n=0}^{d} a_{n}*x^{n} [/mm] und
[mm] g(x)=\summe_{m=0}^{p} b_{m}*x^{m}
[/mm]
So, f(x)+g(x) müsste doch in etwa so aussehen:
[mm] \summe_{j=0}^{n} (a_{j}+b_{j})*x^{j}
[/mm]
oder?
Aber wenn die Polynome unterschiedlichen Grad haben, wie kann ich das in der Addition zum Ausdruck bringen? :-(
Mein Problem ist, wenn ich jetzt f(x)+g(x) ableite, dann habe ich ja:
[mm] \summe_{j=1}^{n} j*(a_{j}+b_{j})*x^{j-1}
[/mm]
Aber woher weiß ich jetzt noch, dass die beiden Funktion f und g unterschiedlichen Grad haben?!?
Ich hoffe, ihr könnt mir helfen...
Liebe Grüße
Sabine
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meine Mathe-Welt bricht gerade zusammen :-(
nochmal zu dem Produkt:
wie sieht denn verflixtnochmal f'*g aus?!? - Schließlich sind doch beide Summationsgrenzen verschieden und da es sich um ein Produkt zweier Summen handelt, kann ich die doch auch nicht rausziehen?!?
Ich hab gerade total!!! den Hänger (ich hoffe, dass ist iwie auch der Uhrzeit geschuldet...)
Liebe Grüße
Sabine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:40 Fr 31.12.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sabine,
> meine Mathe-Welt bricht gerade zusammen :-(
> nochmal zu dem Produkt:
> wie sieht denn verflixtnochmal f'*g aus?!? - Schließlich
> sind doch beide Summationsgrenzen verschieden und da es
> sich um ein Produkt zweier Summen handelt, kann ich die
> doch auch nicht rausziehen?!?
> Ich hab gerade total!!! den Hänger (ich hoffe, dass ist
> iwie auch der Uhrzeit geschuldet...)
lies' Dir einfach nochmal das P.S. von hier durch. Es ist doch das gleiche Prinzip wie bei dem Produkt [mm] $f*g\,,$ [/mm] denn dort war [mm] $f\,$ [/mm] ein Polynom, sagen wir es habe Grad [mm] $n_f \in \IN_0\,,$ [/mm] und [mm] $g\,$ [/mm] war ebenso ein Polynom vom Grad [mm] $n_g \in \IN_0\,.$ [/mm] Nun ist ja auch [mm] $f'\,$ [/mm] ein Polynom, und zwar vom Grad [mm] $n_f-1\,,$ [/mm] sofern [mm] $n_f [/mm] > 0$ war. Das einzige, was zu beachten ist, ist, dass die Koeffizienten von dem Polynom [mm] $f'\,$ [/mm] auch mit den Koeffizienten von [mm] $f\,$ [/mm] in Beziehung stehen.
P.S.:
Rechne das ganze ruhig auch einfach mal anhand des Beispiels durch - manchmal muss man einfach ein wenig Rechenübung haben, um die "Strukturen" auch vernünftig erkennen und benennen zu können.
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:34 Fr 31.12.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sabine,
> Oh man, leider habe ich doch noch einmal eine Frage. Die
> Sache mit der Produktregel habe ich jetzt verstanden, aber
> wie sieht das denn bei der Addition aus? Angenommen, ich
> habe:
> [mm]f(x)=\summe_{n=0}^{d} a_{n}*x^{n}[/mm] und
>
> [mm]g(x)=\summe_{m=0}^{p} b_{m}*x^{m}[/mm]
>
> So, f(x)+g(x) müsste doch in etwa so aussehen:
> [mm]\summe_{j=0}^{n} (a_{j}+b_{j})*x^{j}[/mm]
> oder?
> Aber wenn die Polynome unterschiedlichen Grad haben, wie
> kann ich das in der Addition zum Ausdruck bringen? :-(
dann kann man beispielsweise setzen
[mm] $$N:=\text{max}\{d,p\}\,,$$
[/mm]
und danach sagt man beispielsweise:
O.E. sei $p [mm] \ge [/mm] d$ (andernfalls vertausche man die Rollen von [mm] $f\,$ [/mm] und [mm] $g\,$), [/mm] also [mm] $N=p\,.$ [/mm] Dann setze [mm] $a_j:=0\,$ [/mm] für [mm] $j:=d+1,\ldots,p\,,$ [/mm] und schon kannst Du alles wie oben schreiben:
[mm] $$f(x)=\summe_{n=0}^{d} a_{n}*x^{n}=\summe_{n=0}^{p} a_{n}*x^{n}\,,$$
[/mm]
[mm] $$g(x)=\summe_{m=0}^{p} b_{m}*x^{m}$$
[/mm]
[mm] $$\Rightarrow f(x)+g(x)=\summe_{j=0}^{N} (a_{j}+b_{j})*x^{j}\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:59 Sa 01.01.2011 | | Autor: | Sabine_B. |
Nochmals gaaaaaaanz vielen Dank. Ich denke, jetzt hab ichs
Viel spaß im neuen Jahr!!!
Liebe Grüße
Sabine
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:28 Mo 03.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sabine,
> Sei R ein Ring. Wir definieren die formale Ableitung auf
> dem Polynomring
> R[X] wie folgt. Sei f(X) [mm]=\summe_{n=0}^{d} a_{n}x^{n}.[/mm]
> Setze f'(X) = [mm]\summe_{n=1}^{d} n*a_{n}x^{n-1}.[/mm]
> Beweisen Sie:
> (fg)' = f'g + fg'
> Hallo,
> die Produkthilfe mit Hilfe der Grenzwerte zu beweisen ist
> mir klar und auch recht einfach durchführbar. Bei dieser
> Aufgabe will der Prof aber, dass wir nur mit Hilfe der
> gegebenen Bedingungen den Beweis durchführen. Kann ich
> also die Summenschreibweise etc. so umformen, dass sie auch
> daraus die Produktregel ergibt?
wie bereits erwähnt ist hier ja nur von Bedeutung, wie man das Produkt zweier Polynome prägnant schreiben kann (da die Ableitung eines Polynoms wieder ein Polynom ist, wo man die Koeffizientenabhängigkeit zum Ausgangspolynoms ja kennt). Diesbezüglich habe ich alternative Überlegungen auch hier gemacht. (Siehe insbesondere die letzte Summendarstellung [mm] $f(x)*g(x)=\sum_{k=0}^{n+m} x^k \sum_{\substack{j=0\\j \le m \text{ und }k-j \le n}}^{k} a_j b_{k-j}$).
[/mm]
LG,
Marcel
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