Projektion+Existenz on UVR's < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:59 Di 28.12.2004 | | Autor: | Faenol |
Hi !
Weihnachtszeit = Übungszeit / Lernzeit ?!
Naja, darüber wollte ich eigentlich keine Diskussion anfangen, sondern hab einige Fragen zu den Aufgaben:
Gegeben ist ein VR V. F [mm] \in [/mm] L(V) mit [mm] F^{2}=F.
[/mm]
zu zeigen: Es gibt UVR's U, W von V mit
V=U [mm] \oplus [/mm] W und [mm] F(W)={\vec{0}}, [/mm] F(u)=u für alle u [mm] \in [/mm] U.
Sind die letzen Ausdrücke Kriterien, die von den UVR's erfüllt werden müssen, oder Vorraussetzungen ?
Ich deute die Angaben einfach mal als Vorrausetzungen.
Wenn ich ja dann UVR finde, dann heißt es ja auch, dass es UVR gibt, die diese Bedinungen erfüllen..
Es gilt doch:
[mm] Kern(F_{w})=W^{_|}={\vec{0}}.
[/mm]
Also folgt aus der Vorraussetzung:
U [mm] \cap [/mm] W [mm] ={\vec{0}}=F(w)
[/mm]
<=>U [mm] \cap [/mm] W [mm] \cap W^{_|} [/mm] = [mm] {\vec{0}} \cap W^{_|}={\vec{0}}
[/mm]
<=> W [mm] \cap W^{_|} [/mm] = [mm] {\vec{0}}
[/mm]
das Weglassen von U ändert ja nichts...
gleiches gilt für u:
[mm] Kern(F_{u})=U^{_|}={\vec{0}}
[/mm]
U [mm] \cap [/mm] W = [mm] {\vec{0}}=F(w)
[/mm]
<=>U [mm] \cap [/mm] W [mm] \cap U^{_|} [/mm] = [mm] {\vec{0}} \cap U^{_|}={\vec{0}}
[/mm]
<=> U [mm] \cap U^{_|} [/mm] = [mm] {\vec{0}}
[/mm]
das Weglassen von W ändert ja nichts... (da ja durch den Kern eh alles null wird).
Das Problem bei der Aufgabe ist, ich weiß nicht wirklich wie ich es aufschreiben soll, nicht dass ich das eine mit dem anderen beweise (Kreis)
Ich hatte auch schon mal 'ne Möglichkeit gehabt, von
U [mm] \cap U^{_|} [/mm] = W [mm] \cap W^{_|}={\vec{0}} [/mm] auszugehen, dann die Projektion anzuwenden:
F(U) [mm] \cap F(U^{_|}) [/mm] = F(W) [mm] \cap F(W^{_|})=F({\vec{0}})
[/mm]
Wenn F(W)=0 ist und F(u)=u, folgt:
U [mm] \cap U^{_|}={\vec{0}}
[/mm]
wahre Aussage, daher sind die beiden Kriterien schon mal erfüllt..
HMM, was meint ihr ?
P.S Kennt jemand nen guten Link zu Dualräumen, hab hier wieder ne dumme Aufgabe liegen... *g*
Faenôl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:52 Di 28.12.2004 | | Autor: | Faenol |
Hi !
Hab was vergessen:
[mm] W^{|} [/mm] steht für W und oben ein umgedrehtes T, also orthonormal...
Nicht das da was falsch verstanden wird !
Danke schon mal wieder für eure Mühe !
Faenôl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:34 Sa 01.01.2005 | | Autor: | moudi |
> Hi !
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> Weihnachtszeit = Übungszeit / Lernzeit ?!
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> Naja, darüber wollte ich eigentlich keine Diskussion
> anfangen, sondern hab einige Fragen zu den Aufgaben:
>
> Gegeben ist ein VR V. F [mm]\in[/mm] L(V) mit [mm]F^{2}=F.
[/mm]
> zu zeigen: Es gibt UVR's U, W von V mit
> V=U [mm]\oplus[/mm] W und [mm]F(W)={\vec{0}},[/mm] F(u)=u für alle u [mm]\in[/mm] U.
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> Sind die letzen Ausdrücke Kriterien, die von den UVR's
> erfüllt werden müssen, oder Vorraussetzungen ?
Dies sind Bedingungen (Kriterien wie du es nennst), die die Unterräume U und W erfüllen sollen. Im wesentlichen geht es darum zu zeigen, dass in diesem Fall gerade [mm] V=\operatorname{ker}(F)\oplus \operatorname{im}(F) [/mm]. Der Vektorraum V ist gerade die direkte Summen von Kern (=W) und Bild (=U). Im Uebrigen nennt man Operatoren die [mm]F^2=F[/mm] erfüllen Projektoren.
Jetzt muss man verschiedene Dinge zeigen:
i) Die Vektoren im Bild W sind invariant unter dem
Operator F. Sei [mm]w\in \operatorname{im}(F)[/mm], dann existiert v
so, dass w=F(v). Daraus folgt [mm]F(w)=F^2(v)=F(v)=w[/mm].
ii) [mm]U\cap W=\{\vec{0}\}[/mm].
Sei [mm]v\in U\cap W[/mm], dann gilt [mm]F(v)=\vec{0}[/mm],
weil [mm]v\in\operatorname{ker}(F) [/mm] und es gilt v=F(v'),
weil [mm]v\in\operatorname{im}(F)[/mm]. Daraus folgt
[mm]v=F(v')=F^2(v')=F(F(v'))=F(v)=\vec{0}[/mm].
iii) U+W=V
Sei [mm]v\in V[/mm], dann gilt v=v-F(v)+F(v). Es ist klar,
dass F(v) im Bild von F liegt.
Bleibt zu zeigen, dass v-F(v) im Kern von F liegt.
Aber [mm] F(v-F(v))=F(v)-F^2(v)=F(v)-F(v)=\vec{0}[/mm]
mfG Moudi
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