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| Aufgabe | Sei W Unterraum eines euklidischen Raums V, [mm] a_w: [/mm] V [mm] \to [/mm] W die orthogonale Projektion von V auf W und z: W [mm] \to [/mm] V die Einbettung von W in V. Der durch [mm] P_w=z \circ a_w \in [/mm] End(V) definierte Endomorphismus von V heißt Orthogonalprojektor.
a) Zeigen Sie, dass [mm] P_w [/mm] eine indempotente Abbildung ist.
b) Sei Id [mm] \in [/mm] End(V) die identische Abb. Zeigen Sie, das Ker(Id - [mm] P_w)= ImP_w [/mm] und Im(Id - [mm] P_w)=KerP_w. [/mm] |
Hallo.
kann mir vielleicht jemand bei dieser Aufgabe helfen?
Teil a) habe ich hinbekommen, das ist ja nicht so schwer.
Aber bei b) fehlt mir gerade die Idee.
Danke.
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:05 Mi 30.04.2008 | | Autor: | fred97 |
Überlege dir zunächst, dass x im Bildraum von P liegt, genau dann wenn Px=x ist. Die erste Beh. lässt sich nun einfach nachrechnen.
Für die zweite Beh. zeige zunächst, dass auch I-P idempotent ist.
Fred
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hi, danke erstmal.
> Überlege dir zunächst, dass x im Bildraum von P liegt, genau dann wenn > Px=x ist. Die erste Beh. lässt sich nun einfach nachrechnen.
Es ist doch aber gar kein x gegeben. deswegen weiß ich noch nicht genau, was du so damit meinst.
gruß
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hi, mal ne frage. stimmt es eigentlich, dass ich die a) so falsch gemacht habe?
[mm] (P_w)^2=(z \circ a_w )^2=(z \circ a_w [/mm] ) [mm] \circ [/mm] (z [mm] \circ a_w [/mm] )=z [mm] \circ [/mm] (z [mm] \circ a_w [/mm] ) [mm] \circ [/mm] w = [mm] z^2 \circ w^2 [/mm] = z [mm] \circ a_w [/mm] = [mm] P_w
[/mm]
ist das so falsch??
bei der b) komm ich auch irgendwie noch nicht weiter.
gruss
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> hi, mal ne frage. stimmt es eigentlich, dass ich die a) so
> falsch gemacht habe?
>
> [mm](P_w)^2=(z \circ a_w )^2=(z \circ a_w[/mm] ) [mm]\circ[/mm] (z [mm]\circ a_w[/mm]
> )=z [mm]\circ[/mm] (z [mm]\circ a_w[/mm] ) [mm]\circ[/mm] w = [mm]z^2 \circ w^2[/mm] = z [mm]\circ a_w[/mm]
> = [mm]P_w[/mm]
>
> ist das so falsch??
Hallo,
mit Sicherheit, denn Du verwendest ein plötzlich ein w ohne Hinweis darauf, was das darstellen soll.
Du müßtest zeigen, daß für alle [mm] v\in [/mm] V gilt [mm] P_W^2(v)=P_W(v).
[/mm]
Hierfür würde ich mir V erstmal als direkte Summe von W und einem anderen UVR schreiben, und [mm] v\in [/mm] V dann entsprechend darstellen.
> bei der b) komm ich auch irgendwie noch nicht weiter.
Wie weit bist Du denn?
Gruß v. Angela
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> > Überlege dir zunächst, dass x im Bildraum von P liegt,
> genau dann wenn
> Px=x ist.
>
> Es ist doch aber gar kein x gegeben.
Hallo,
dann nimmt man sich halt eins...
Mit x ist natürlich ein [mm] x\in [/mm] V gemeint, und Fred97 sagt, daß ein [mm] x\in [/mm] V genau dann im Bild von P liegt, wenn Px=x.
Gruß v. Angela
> deswegen weiß ich noch
> nicht genau, was du so damit meinst.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:24 Fr 02.05.2008 | | Autor: | jaruleking |
ok jetzt habe ich es doch raus bekommen, nachdem ich nochmal einen tipp von einem freund bekommen habe.
war gar nicht so schwer 
trotzdem danke.
gruß
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