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| Aufgabe | Es sei P: V --> V eine Projektion auf [mm] U_1 [/mm] = Bild(P) längs [mm] U_2 [/mm] = Kern(P), also
P(v) = [mm] u_1
[/mm]
v = [mm] u_1 [/mm] + [mm] u_2
[/mm]
[mm] u_1 \in U_1, u_2 \in U_2
[/mm]
Wählt man eine Basis B = [mm] (b_1,...,b_n) [/mm] von V mit
[mm] U_1 [/mm] = [mm] Kb_1 [/mm] + ... + [mm] Kb_m
[/mm]
[mm] U_2 [/mm] 0 [mm] Kb_m+1 [/mm] + ... + [mm] Kb_n
[/mm]
so ist
P[B,B] = [mm] \pmat{ 1 & 0 & ... & . & 0 & ... & 0 \\ 0 & 1 & ... & . & . & ... & 0 \\ . & . & ... & . & . & ... & . \\ 0 & 0 & ... & 1 & 0 & ... & 0 \\ 0 & 0 & ... & 0 & 0 & ... & 0 \\ . & . & ... & . & . & ... & . \\ 0 & 0 & ... & 0 & 0 & ... & 0 \\}
[/mm]
Bezüglich einer anderen Basis C von V kann die P zugeordnete Matrix P[C,C] allerdings ganz anders aussehen. Ist etwa im Fall V = V²
B = [mm] (b_1, b_2), [/mm] C = [mm] (c_1, c_2)
[/mm]
[mm] c_1 [/mm] = [mm] b_1 [/mm] + [mm] b_2, c_2 [/mm] = [mm] b_1 [/mm] - [mm] b_2
[/mm]
[mm] b_1 [/mm] = [mm] 0,5c_1 [/mm] + [mm] 0,5c_2, b_2 [/mm] = [mm] 0,5c_1 [/mm] - [mm] 0,5c_2
[/mm]
[mm] U_1 [/mm] = [mm] \IR b_1, U_2 [/mm] = [mm] \IR [/mm] b_21
so ist
[mm] Pc_1 [/mm] = [mm] P(b_1 [/mm] + [mm] b_2) [/mm] = [mm] b_1 [/mm] = [mm] 0,5c_1 [/mm] + [mm] 0,5c_2
[/mm]
[mm] Pc_2 [/mm] = [mm] P(b_1 [/mm] - [mm] b_2) [/mm] = [mm] b_1 [/mm] = [mm] 0,5c_1 [/mm] + [mm] 0,5c_2
[/mm]
Demnach ist D[C,C] = [mm] \pmat{ 0.5 & 0,5 \\ 0,5 & 0,5 } [/mm] |
Hi,
ich muss dieses Beispiel morgen erklären können und hab ein paar Fragen!
1. Wie kommt die Matrix P[B,B] zu stande'?
2. Wieso ist am ende [mm] b_1 [/mm] = [mm] P(b_1 [/mm] + [mm] b_2) [/mm] = [mm] P(b_1 [/mm] - [mm] b_2)
[/mm]
Wäre sehr dankbar über eine schnelle Antwort!
Schöne Grüße
Jonas
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:38 Di 26.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
P(B,B) bildet doch wegen der Einsen in den erstn m Zeilen
einen Vektor [mm] u_1 [/mm] auf sich ab, einen Vektor [mm] u_2 [/mm] nach der Def auf 0 also [mm] u_1+u_2 [/mm] auf [mm] u_1 [/mm] wie verlangt.
[mm] u_1 [/mm] hat doch die Form [mm] \summe_{i=1}^{m}a_ib_i [/mm] in Komponentenschreibweise [mm] (a_1,a_2,.....a_m)^T
[/mm]
u+2 die Form [mm] (0,0....,a_{m+1},......a_n)^T
[/mm]
da [mm] b_2 [/mm] in U2 natuerlich auch [mm] -b_2
[/mm]
deshalb [mm] P(b_1+b_2)=b_1 [/mm] siehe Def, der Projektion
Gruss leduart
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