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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:40 Fr 11.06.2010 | | Autor: | Irmchen |
Hallo alle zusammen!
Ich bin auf eine Bemerkung gestoßen, und habe zum Beweis nur 2 kurze zeilen, die mich mehr verwirren als alles andere..
Im der Bemerkung triit der folgende Ausdruck auf:
[mm] P_1 [/mm] ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf [mm] ( \Omega_1, \mathcal A_1 ] [/mm], [mm] A \in \mathcal A_1 \times \mathcal A_2 [/mm]
[mm] ( P_1 \times {K}^1_2 ) (A) := \integral_{ \Omega_1} \integral_{ \Omega_2 } 1_{A} ( \omega_1, \omega_2 ) {K}^1_2 ( \omega_1, d \omega_2) P_1 ( d\omega_1) [/mm]
Bemerkung ]:
Seien [mm] \pi_1: \Omega_1 \times \Omega_2 \to \Omega_1, \pi_2: \Omega_1 \times \Omega_2 \to \Omega_2, [/mm] die Projektionen
auf die Koordinaten.. Es git:
(1) [mm] ( P_1 \times {K}^1_2 )^{\pi_1} = P_1 [/mm]
(2) [mm] ( P_1 \times {K}^1_2 )^{\pi_2} (A_2) = \integral {K}^1_2 ( \omega_1, A_2 ) dP_1 ( \omega_1) [/mm].
Beweis
Beim Beweis habe ich nur folgendes stehen:
[mm] A_1 \in \mathcal A_1 : \pi_1^{-1} (A_1) = A_1 \times \Omega_2 [/mm]
[mm] A_2 \in \mathcal A_2 : \pi_2^{-1} (A_2) = \Omega_1 \times A_2 [/mm]
Irgendwie ist (1) intuitiv klar, aber (2) verstehe ich leider nicht Warum gilt das?
Und was soll ich mit den 2 Zeilen im Beweis anfangen....:-(.
Ich hoffe jemand kann mir helfen!
Vielen Dank!
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:21 Sa 12.06.2010 | | Autor: | Marc |
Hallo Irmchen,
> Im der Bemerkung triit der folgende Ausdruck auf:
>
> [mm]P_1[/mm] ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf [mm]( \Omega_1, \mathcal A_1 ] [/mm],
> [mm]A \in \mathcal A_1 \times \mathcal A_2[/mm]
>
> [mm]( P_1 \times {K}^1_2 ) (A) := \integral_{ \Omega_1} \integral_{ \Omega_2 } 1_{A} ( \omega_1, \omega_2 ) {K}^1_2 ( \omega_1, d \omega_2) P_1 ( d\omega_1) [/mm]
>
[mm] $K^1_2$ [/mm] ist wieder ein Markov-Kern, nehme ich an.
> Bemerkung ]:
>
> Seien [mm]\pi_1: \Omega_1 \times \Omega_2 \to \Omega_1, \pi_2: \Omega_1 \times \Omega_2 \to \Omega_2,[/mm]
> die Projektionen
> auf die Koordinaten.. Es git:
>
> (1) [mm]( P_1 \times {K}^1_2 )^{\pi_1} = P_1[/mm]
>
> (2) [mm]( P_1 \times {K}^1_2 )^{\pi_2} (A_2) = \integral {K}^1_2 ( \omega_1, A_2 ) dP_1 ( \omega_1) [/mm].
>
> Beweis
>
> Beim Beweis habe ich nur folgendes stehen:
>
> [mm]A_1 \in \mathcal A_1 : \pi_1^{-1} (A_1) = A_1 \times \Omega_2[/mm]
>
> [mm]A_2 \in \mathcal A_2 : \pi_2^{-1} (A_2) = \Omega_1 \times A_2[/mm]
Diese beiden Gleichheit dürften klar sein, oder?
> Irgendwie ist (1) intuitiv klar, aber (2) verstehe ich
> leider nicht Warum gilt das?
> Und was soll ich mit den 2 Zeilen im Beweis
> anfangen....:-(.
Ich würde sagen, einfach mal einsetzen und ausrechnen 
(1)
Sei [mm] $A_1 in\mathcal{A_1}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow\ [/mm] ( [mm] P_1 \times {K}^1_2 )^{\pi_1}(A_1)$
[/mm]
[mm] $=(P_1 \times {K}^1_2)(\pi_1^{-1}(A_1))$
[/mm]
[mm] $=(P_1 \times {K}^1_2)(A_1\times \Omega_2)$
[/mm]
[mm] $=\integral_{ \Omega_1} \integral_{ \Omega_2 } 1_{A_1\times\Omega_2} [/mm] ( [mm] \omega_1, \omega_2 [/mm] ) [mm] {K}^1_2 [/mm] ( [mm] \omega_1, [/mm] d [mm] \omega_2) P_1 [/mm] ( [mm] d\omega_1)$
[/mm]
[mm] $=\integral_{ \Omega_1} \integral_{ \Omega_2 } 1_{A_1}(\omega_1)*1_{\Omega_2} [/mm] ( [mm] \omega_2 [/mm] ) [mm] {K}^1_2 [/mm] ( [mm] \omega_1, [/mm] d [mm] \omega_2) P_1 [/mm] ( [mm] d\omega_1)$
[/mm]
[mm] $=\integral_{ \Omega_1} 1_{A_1}(\omega_1)*\left(\integral_{ \Omega_2 } 1_{\Omega_2} ( \omega_2 ) {K}^1_2 ( \omega_1, d \omega_2)\right) P_1 [/mm] ( [mm] d\omega_1)$
[/mm]
Da K bei fester erster Komponente bzgl. der zweiten Komponente ein W-Maß ist, hat der Klammerausdruck den Wert 1:
[mm] $=\integral_{ \Omega_1} 1_{A_1}(\omega_1) P_1 [/mm] ( [mm] d\omega_1)$
[/mm]
[mm] $=P_1(A_1)$
[/mm]
(2)
Sei [mm] $A_2 in\mathcal{A_2}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow\ [/mm] ( [mm] P_1 \times {K}^1_2 )^{\pi_2}(A_2)$
[/mm]
[mm] $=(P_1 \times {K}^1_2)(\pi_2^{-1}(A_2))$
[/mm]
[mm] $=(P_1 \times {K}^1_2)(\Omega_1 \times A_2)$
[/mm]
[mm] $=\integral_{ \Omega_1} \integral_{ \Omega_2 } 1_{\Omega_1\times A_2} [/mm] ( [mm] \omega_1, \omega_2 [/mm] ) [mm] {K}^1_2 [/mm] ( [mm] \omega_1, [/mm] d [mm] \omega_2) P_1 [/mm] ( [mm] d\omega_1)$
[/mm]
[mm] $=\integral_{ \Omega_1} \integral_{ \Omega_2 } 1_{\Omega_1}(\omega_1)*1_{A_2} [/mm] ( [mm] \omega_2 [/mm] ) [mm] {K}^1_2 [/mm] ( [mm] \omega_1, [/mm] d [mm] \omega_2) P_1 [/mm] ( [mm] d\omega_1)$
[/mm]
[mm] $=\integral_{ \Omega_1} 1_{\Omega_1}(\omega_1)*\left(\integral_{ \Omega_2 } 1_{A_2} ( \omega_2 ) {K}^1_2 ( \omega_1, d \omega_2)\right) P_1 [/mm] ( [mm] d\omega_1)$
[/mm]
Mit derselben Begründung wie oben ist der Klammerausdruck nun [mm] $=K^1_2(\omega_1,A_2)$ [/mm] (dazu passt eine andere Frage, die du vor kurzem hier gestellt hast)
[mm] $=\integral_{ \Omega_1} 1_{\Omega_1}(\omega_1)*K^1_2(\omega_1,A_2) P_1 [/mm] ( [mm] d\omega_1)$
[/mm]
und das war's auch schon:
[mm] $=\integral_{ \Omega_1} K^1_2(\omega_1,A_2) P_1 [/mm] ( [mm] d\omega_1)$
[/mm]
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:58 Sa 12.06.2010 | | Autor: | Irmchen |
Hallo Marc,
vielen Dank für die schnell und sehr ausführliche Antwort!
Sorry, aber ich bin nicht auf die Idee gekommen auch einfach einzusetzen...blöd von mir! Nach Deiner ausführlichen Rechnung ist mir das jetzt klar!
Aber zu deiner Frage:
> > Seien [mm]\pi_1: \Omega_1 \times \Omega_2 \to \Omega_1, \pi_2: \Omega_1 \times \Omega_2 \to \Omega_2,[/mm]
> > [mm]A_1 \in \mathcal A_1 : \pi_1^{-1} (A_1) = A_1 \times \Omega_2[/mm]
>
> >
> > [mm]A_2 \in \mathcal A_2 : \pi_2^{-1} (A_2) = \Omega_1 \times A_2[/mm]
>
> Diese beiden Gleichheit dürften klar sein, oder?
würde ich gerne nochmal zurückkommen.
Zum Beispiel beim ersten Ausdruck
[mm]A_1 \in \mathcal A_1 : \pi_1^{-1} (A_1) = A_1 \times \Omega_2[/mm]
denke ich, dass im [mm] A_1 \times \Omega_2[/mm] das [mm] \Omega_2[/mm] steht, da es ja durch diese Projektion unbegrührt bleibt...
Richtig?
Aber was die richtige bedründung dafür ist, dass beim
[mm] \pi_1^{-1} (A_1) [/mm] genau auf [mm] A_1 [/mm]
abgebildet wird, das weiß ich nicht... irgendwie ist das klar, aber warum??
Vieleb dank!
Viele Grüße
irmchen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:19 Sa 12.06.2010 | | Autor: | Marc |
Hallo Irmchen,
> Zum Beispiel beim ersten Ausdruck
>
> [mm]A_1 \in \mathcal A_1 : \pi_1^{-1} (A_1) = A_1 \times \Omega_2[/mm]
>
> denke ich, dass im [mm]A_1 \times \Omega_2[/mm] das [mm]\Omega_2[/mm] steht,
> da es ja durch diese Projektion unbegrührt bleibt...
> Richtig?
>
> Aber was die richtige bedründung dafür ist, dass beim
> [mm]\pi_1^{-1} (A_1)[/mm] genau auf [mm]A_1[/mm]
> abgebildet wird, das weiß ich nicht... irgendwie ist das
> klar, aber warum??
[mm] $\pi_1$ [/mm] ist doch die Abbildung [mm] $\Omega_1\times\Omega_2\ \to\ \Omega_1$, $(\omega_1,\omega_2)\mapsto\omega_1$.
[/mm]
Mit [mm] $\pi_1^{-1}(A_1)$ [/mm] ist das Urbild von [mm] $A_1$ [/mm] gemeint, also die Menge aller Elemente aus [mm] $\Omega_1\times\Omega_2$, [/mm] die in [mm] $A_1$ [/mm] abgebildet werden, formal:
[mm] $\pi_1^{-1}(A_1)$=\{(\omega_1,\omega_2)\ :\ \pi_1(\omega_1,\omega_2)=\omega_1\in A_1\}$
[/mm]
Im Urbild von [mm] $A_1$ [/mm] liegen also alle Tupel [mm] $(\omega_1,\omega_2)$, [/mm] deren erste Komponente in [mm] $A_1$ [/mm] liegt.
Und das ist gerade die Menge [mm] $A_1\times\Omega_2$.
[/mm]
Ein bisschen klarer geworden?
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:25 Sa 12.06.2010 | | Autor: | Irmchen |
Oh ja, super vielen Dank!!!
Viele grüße
irmchen
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