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| Aufgabe | 1) Eine Projektion eines endlich-dimensionalen K-Vektorraumes V ist ein Endomorphismus [mm] p:V\toV [/mm] mit [mm] p^{2}=p. [/mm] Zeigen Sie, dass es zu jedem Unterraum [mm] U\subsetV [/mm] eine Projektion [mm] p:V\toV [/mm] mit p(V)=U gibt (man nennt p dann eine Projektion von U).
2) Zeigen Sie, dass eine Projektion diagonalisierbar ist, also eine Basis aus Eigenvektoren besitzt. Was sind die Eigenwerte? |
Das wichtige ist der erste teil der aufgabe. ich weiß im moment überhaupt nicht, wie man zeigen soll, dass es eine abbildung gibt. ich meine wenn ich diese wählen kann, dann ist es doch klar, dass es eine gibt, oder? und zu zweitens: ich habe eigenwerte und eigenvektoren in der vorlesung nicht verstanden, vielleicht kann mir das also nochmal jemand erklären, am besten an dem beispiel. dank euch jetzt schon.
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> 1) Eine Projektion eines endlich-dimensionalen
> K-Vektorraumes V ist ein Endomorphismus [mm]p:V\toV[/mm] mit
> [mm]p^{2}=p.[/mm] Zeigen Sie, dass es zu jedem Unterraum [mm]U\subsetV[/mm]
> eine Projektion [mm]p:V\toV[/mm] mit p(V)=U gibt (man nennt p dann
> eine Projektion von U).
> 2) Zeigen Sie, dass eine Projektion diagonalisierbar ist,
> also eine Basis aus Eigenvektoren besitzt. Was sind die
> Eigenwerte?
> Das wichtige ist der erste teil der aufgabe. ich weiß im
> moment überhaupt nicht, wie man zeigen soll, dass es eine
> abbildung gibt. ich meine wenn ich diese wählen kann, dann
> ist es doch klar, dass es eine gibt, oder?
Hallo,
richtig - bloß um sie wählen zu können, muß es sie geben...
Nimm Deinen VR V und einen Unterraum U. Dieser hat eine Basis [mm] (b_1,...,b_m), [/mm] welche Du durch [mm] (b_{m+1},...,b_n) [/mm] zu einer Basis von V ergänzen kannst. (Woher weiß man das?).
Dann ist [mm] V= \oplus .
[/mm]
So. Nun definiere ein Abbildung, welche [mm] b_1,...,b_m [/mm] jeweils auf sich selbst abbildet und [mm] b_{m+1},...,b_n [/mm] jeweils auf den Nullvektor.
Zeige dann, daß sie die geforderte Eigenschaft hat.
und zu zweitens:
> ich habe eigenwerte und eigenvektoren in der vorlesung
> nicht verstanden,
Ein Eigenvektor ist ein von Null verschiedener Vektor, welcher sich durch die Abbildung nur um einen (skalaren) Faktor ändert.
Hast Du eine Matrix M und einen Vektor [mm] v\not=0, [/mm] welcher abgebildet wird auf
[mm] Mv=\alpha [/mm] v, so ist [mm] \alpha [/mm] ein Eigenwert der Matrix und v ein zum Eigenwert [mm] \alpha [/mm] gehöriger Eigenvektor.
Gruß v. Angela
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