Projektion im normierten Raum < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hi,
ich weiß gerade bei folgender Aufgabe nicht weiter:
Zeige:
Ist [mm] l^\infty [/mm] normierter Unterraum eines normierten Raumes B, so gibt es eine stetige lineare Projektion P:B->B mit Bild(P) = [mm] l^\infty [/mm] und ||P||=1
Mein Ansatz ist nun für i [mm] \varepsilon\IN l_i: l^\infty [/mm] -> [mm] \IK [/mm] mit [mm] l_i [/mm] (x) = [mm] x_i
[/mm]
zu nutzen
Nach Hahn-Banach gibt es nun eine Fortsetzung auf B mit [mm] L_i:B->\IK
[/mm]
P hab ich dann folgendermaßen definiert:
[mm] P:B->l^\infty, x->(L_1(x),L_2(x),...)
[/mm]
Wenn ich nun ein x aus [mm] l^\infty [/mm] wähle, folgt:
Px = [mm] (L_1(x),L_2(x),...) [/mm] = [mm] (l_1(x),l_2(x),...) [/mm] = [mm] (x_1,x_2,...) \varepsilon l^\infty
[/mm]
Also kann damit ganz [mm] l^\infty [/mm] erzeugt werden.
Jetzt müsste ich noch weiter zeigen, dass auch für x [mm] \varepsilon [/mm] B \ [mm] l^\infty [/mm] folgt, dass Px in [mm] l^\infty [/mm] liegt.
Nur hier weiß ich leider nicht weiter, da ich keine Ahnung habe wie der Raum B aussieht. Ist das einfach der Raum aller Folgen?
Könntet ihr mir einen Tipp geben, wie ich weitermachen kann oder ob ich einen komplett falschen Weg eingeschlagen habe?
Vielen Dank!
Jenny
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 So 17.06.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:51 Mo 18.06.2012 | | Autor: | fred97 |
Für jedes x [mm] \in [/mm] B ist
[mm] Px=(L_j(x))
[/mm]
und [mm] |L_j(x)| \le ||L_j||*||x||=||l_j||*||x||=||x||
[/mm]
Damit ist die Folge [mm] (L_j(x)) [/mm] beschränkt.
FRED
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