Projektion in eine Ebene < Prozesse+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeige, dass alle Vektoren x, mit M*x eine Ebene bilden !
M =
0 0,5 0,5 (1. Zeile)
0,5 0,75 -0,25 (2. Zeile)
0,5 -0,25 0,75 (3. Zeile)
Gebe die Ebenengleichung von Em an ! |
Hallo liebe Gemeinde !
Bin total verzweifelt!
Ich habe die Matrix mit einem beliebigen Vektor (x1, x2, x3) multipliziert um zu gucken, wie sich alle Punkte der Ebene definieren. Ich komme aber einfach nicht darauf, wie man nun genau nachweisen kann, dass alle beliebigen Bildpkt dieser Matrix eine Ebene bilden ! Haben sowas noch nie im Unterricht gemacht und mir fehlt einfach ein Rechenansatz.
Hätte ich eine Ebenengleichung könnte ich ja eine Punktprobe machen, aber so ?
Wär echt nett, wenn mir einer helfen könnte!
Danke und einen schönen Abend
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:49 Sa 21.02.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Guck dir die Bilder der standard Basisvektoren an. Wenn die in einer Ebene liegen, dann auch alle ihre Kombinationen, also alle>
Gruss leduart
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| Aufgabe | Zeige, dass alle Vektoren x, mit M*x eine Ebene bilden !
M =
0 0,5 0,5 (1. Zeile)
0,5 0,75 -0,25 (2. Zeile)
0,5 -0,25 0,75 (3. Zeile)
Gebe die Ebenengleichung von Em an !
Antwort
Hallo
Guck dir die Bilder der standard Basisvektoren an. Wenn die in einer Ebene liegen, dann auch alle ihre Kombinationen, also alle>
Gruss leduart |
Danke für die Antwort ! Die Standardbasisvektoren entsprechen den Spalten der Matrix und es gibt somit 3 Stück, richtig ?
Aber dann ist es doch logisch, dass die 3 Bilder der Standardvektoren in einer Ebene liegen, eine Ebene wird doch schließlich über 3 beliebige Punkte definiert ?!
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Hallo!
Es geht hier weniger um Punkte als um Richtungen.
Mach dir nochmal genau klar, was die einzelnen Komponenten eines Vektors bedeuten:
[mm] \vektor{a\\b\\c}=a\vektor{1\\0\\0}+b\vektor{0\\1\\0}+c\vektor{0\\0\\1}=a\vec{e}_x+b\vec{e}_y+c\vec{e}_z
[/mm]
Soll heißen, die einzelnen Komponenten geben dir an, wie weit du in die jeweiligen Richtungen der Basisvektoren gehen mußt.
Typischerweiser erreichst du durch geeignete Wahl von a, b, c ALLE Punkte im 3D-Raum. Was ich da hingeschrieben habe, ist sowas wie die Parameterform einer Ebene, aber für den Raum!
Die Idee von Leduart ist nun, daß die Abbildung auf die drei Basisvektoren wirkt:
[mm] \vec{X}=a*({\bf M}\vec{e}_x)+b*({\bf M}\vec{e}_y)+c*({\bf M}\vec{e}_z)
[/mm]
Das, was da in Klammern steht hast du bereits ausgerechnet.
Nun ist die Frage, ob alle [mm] \vec{X} [/mm] evtl in einer Ebene liegen. Beachte, daß du da immernoch sowas wie eine Parameterform mit drei Richtungsvektoren hast.
Woran erkennst du, daß eine Paramterform mit drei Richtungsvektoren tatsächlich eine Ebene darstellt? Überlege dir zunächst mal geometrisch, wie die Vektoren im Raum liegen müßten.
(Noch eine Sache: Lineare Abbildungen lassen den Ursprung da, wo er ist. Wunder dich also nicht, daß du hier keine Aufpunktvektoren siehst.)
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| Aufgabe | | Woran erkennst du, daß eine Paramterform mit drei Richtungsvektoren tatsächlich eine Ebene darstellt? Überlege dir zunächst mal geometrisch, wie die Vektoren im Raum liegen müßten. |
Ich kann mir vorstellen, wie die 3 Vektoren dann liegen müssen. Sie können z.B. parallel bzw. linear abhängig voneinander sein. Es kann auch 1 Vektor zu den beiden anderen orthogonal sein.
Da scheint es mir ziemlich viele Möglichkeiten zu geben, aber ich hab keine Ahnung wie man das Ganze mathematisch ausdrücken könnte und dann überprüfen könnte.
Weiss nur, wie man Vektoren auf lineare Abhängigkeit überprüft...
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Also die Bildvektoren sind nicht linear abhängig, hab deren Determinante berechnet und die ist ungleich null :(
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:29 So 22.02.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast recht, das Bild ;iegt NICHT in einer Ebene.
Kann es sein dass eines der Vorzeichen deiner matrix falsch ist?
Sonst kannst du das gegenteil der Behauptung beweisen, indem du einfach sagst, dass die Bilder der basisvektoren nicht in einer Ebene liegen.
Gruss leduart
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Doch, das Bild dieser Matrix muss in einer Ebene liegen; es ist sogar eine Ebenengleichung zum weiterrechnen angegeben, da darauf noch andere Aufgabe folgen. Die Ebenengleichung lautet:
[mm] \vektor{0\\0\\0}+x1\vektor{1\\0\\2}+x2\vektor{0\\1\\-1}
[/mm]
Ich weiss halt nur nicht wie man darauf kommt :(
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