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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:09 Di 17.03.2015 | | Autor: | Nyuu |
| Aufgabe | Es sei X der affine Raum [mm] \IR^3 [/mm] und [mm] \pi [/mm] die Projektion von X auf die affine Ebene Y:=(2,1,1)+U parallel zu W, wobei [mm] U:=\langle(1,1,1),(1,0,-1)\rangle [/mm] und [mm] W:=\langle(0,1,1)\rangle [/mm] lineare Unterräume von [mm] V_X=\IR^3 [/mm] sind.
(1) Berechnen Sie [mm] \pi((0,0,0)), \pi((2,1,1)) [/mm] und [mm] \pi((1,-3-4)).
[/mm]
(2) Bestimmen Sie die Geraden G in X mit [mm] dim(\pi(G))=0.
[/mm]
(3) Bestimmen Sie die Ebenen E in X mit [mm] dim(\pi(E))=0 [/mm] bzw. [mm] dim(\pi(E))=1. [/mm] |
Irgendwie hab ich mit Projektionen so meine Probleme. Projektionen haben wir wie folgt definiert:
Sei [mm] Y\not=\emptyset [/mm] Affiner Unterraum (A.U.) von X und W ein [mm] \IK-Unterraum [/mm] von [mm] V_X [/mm] mit [mm] W\bigoplus V_Y=V_X. [/mm]
[mm] \varphi [/mm] heißt Projektion auf Y parallel zu W, wenn [mm] \varphi(B)\in [/mm] Y und [mm] \overrightarrow{B\varphi(B)}\in [/mm] W für alle [mm] B\in [/mm] X.
Wenn ich das richtig verstehe wird sozusagen jeder Punkt [mm] B\in [/mm] X auf den Affinen Unterraum Projeziert. Allerdings kann ich mir das noch nicht ganz so gut vorstellen (wenn das überhaupt wichtig ist, aber mir hilft sowas immer).
Nun haben wir in dieser Aufgabe den Affinen Raum [mm] X=\IR^3.
[/mm]
[mm] \pi [/mm] projeziert nun jeden Punkt aus X auf den Affinen Unterraum Y:=(2,1,1)+U.
Das Affine Erzeugnis wäre dann
[mm] Y:=\left\{ \vektor{2 \\ 1 \\ 1} + \lambda \vektor{1 \\ 1 \\ 1} + \mu \vektor{1 \\ 0 \\ -1} \right\}
[/mm]
Dann hätte ich noch meinen Untervekotrraum
[mm] W:=\left\{\lambda \vektor{0 \\ 1 \\ 1} \right\}
[/mm]
Dammit hätte ich eine Grade (den Untervekottraum) und meine Affine Ebene.
Jetzt muss ja gelten [mm] \forall B\in [/mm] X
(*) [mm] \varphi(B)\in [/mm] Y
und
(**) [mm] \overrightarrow{B\varphi(B)}\in [/mm] W
Aber ich kann mit den weiteren Informationen leider nichts anfangen.
Kann mir jemand weiterhelfen?
Was genau versteht man anschaulich unter einer Projektion? (Google half mir leider nicht weiter)
Wie kann ich die Beiden oben beschriebenen Bedingungen (*) und (**) nutzen, um dier erste Teilaufgabe zu lösen?
Tut mir leid aber weiter bin ich leider nicht gekommen :<
Mfg. Nyuu
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:05 Mi 18.03.2015 | | Autor: | hippias |
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> Jetzt muss ja gelten [mm]\forall B\in[/mm] X
>
> (*) [mm]\varphi(B)\in[/mm] Y
>
> und
>
> (**) [mm]\overrightarrow{B\varphi(B)}\in[/mm] W
>
> Aber ich kann mit den weiteren Informationen leider nichts
> anfangen.
> Kann mir jemand weiterhelfen?
>
Diese Bedingungen lassen sich so deuten: nach [mm] $(\*)$ [/mm] liegt [mm] $\varphi(B)$ [/mm] in $Y$; [mm] $(\*\*)$ [/mm] laesst sich umformulieren zu [mm] $\overrightarrow{B\varphi(B)}\in W\iff \varphi(B)\in [/mm] B+ W$.
Folglich ist [mm] $\varphi(B)$ [/mm] der Schnitt von $Y$ und $B+W$, d.h. Du erhaelst die Projektion von $B$ auf $Y$ parallel $W$, indem Du die Gerade $W$ in $B$ parallel verschiebst und den Schnittpunkt von $Y$ mit dieser Geraden bestimmst.
> Was genau versteht man anschaulich unter einer Projektion?
> (Google half mir leider nicht weiter)
In der Bibliothek findest Du Buecher, die von sehr klugen Leuten zu diesem Thema fuer Geld geschrieben worden.
> Wie kann ich die Beiden oben beschriebenen Bedingungen (*)
> und (**) nutzen, um dier erste Teilaufgabe zu lösen?
>
> Tut mir leid aber weiter bin ich leider nicht gekommen :<
>
> Mfg. Nyuu
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:27 Mi 18.03.2015 | | Autor: | Ladon |
Hallo Nyuu,
hier noch mal eine etwas anschaulichere Erklärung.
> Projektionen haben wir wie folgt definiert:
>
> Sei [mm]Y\not=\emptyset[/mm] Affiner Unterraum (A.U.) von X und W
> ein [mm]\IK-Unterraum[/mm] von [mm]V_X[/mm] mit [mm]W\bigoplus V_Y=V_X.[/mm]
>
> [mm]\varphi[/mm] heißt Projektion auf Y parallel zu W, wenn
> [mm]\varphi(B)\in[/mm] Y und [mm]\overrightarrow{B\varphi(B)}\in[/mm] W für
> alle [mm]B\in[/mm] X.
[mm] W\oplus V_Y= V_X [/mm] bedeutet ja, [mm] W+V_Y=\{w+v|w\in W, v\in V_Y\}=V_X [/mm] und [mm] W\cap V_Y=\{0\}.
[/mm]
Um das ganze mal mit Leben zu füllen betrachten wir dein Beispiel:
Hier wäre ja [mm] V_Y=U=\langle(1,1,1),(1,0,-1)\rangle [/mm] und [mm] W=\langle(0,1,1)\rangle. [/mm] Da
$ a (1,1,1) + b [mm] (1,0,-1)=(0,1,1)\Rightarrow [/mm] a=0=b$
sind 1.) die Vektoren linear unabhängig und 2.) [mm] W\cap V_Y=\{0\}.
[/mm]
Man kann leicht einsehen, dass (1,1,1), (1,0,-1), (0,1,1) ein Erzeugendensystem ist.
Also ist (1,1,1), (1,0,-1), (0,1,1) Basis des [mm] \IR^3 [/mm] und [mm] W+V_Y=\IR^3.
[/mm]
Hier eine Zeichnung dazu:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Für senkrechte Vektoren ist das Skalarprodukt Null:
[mm] \vektor {1\\1\\1}\cdot \vektor{1\\0\\-1}=1-1=0
[/mm]
[mm] \vektor {1\\0\\-1}\cdot\vektor {0\\1\\1}\neq0.
[/mm]
Deshalb habe ich es so gezeichnet, wie oben. Natürlich ist die Zeichnung nicht ganz maßstabsgetreu, aber ich denke man bekommt ein gutes Gespür dafür, warum [mm] W\oplus V_Y= V_X.
[/mm]
Eine Projektion projiziert nun anschaulich ausgedrückt alle Punkte in [mm] \IR^3 [/mm] entlang (0,1,1) auf die Ebene Y, das ist die Ebene U um den Vektor (2,1,1) verschoben.
Nun zu deinen Fragen:
> Nun haben wir in dieser Aufgabe den Affinen Raum [mm]X=\IR^3.[/mm]
>
> [mm]\pi[/mm] projeziert nun jeden Punkt aus X auf den Affinen
> Unterraum Y:=(2,1,1)+U.
>
> Das Affine Erzeugnis wäre dann
>
> [mm]Y:=\left\{ \vektor{2 \\ 1 \\ 1} + \lambda \vektor{1 \\ 1 \\ 1} + \mu \vektor{1 \\ 0 \\ -1} \right\}[/mm]
>
> Dann hätte ich noch meinen Untervekotrraum
>
> [mm]W:=\left\{\lambda \vektor{0 \\ 1 \\ 1} \right\}[/mm]
>
> Damit hätte ich eine Grade (den Untervekottraum) und
> meine Affine Ebene.
>
> Jetzt muss ja gelten [mm]\forall B\in[/mm] X
>
> (*) [mm]\varphi(B)\in[/mm] Y
>
> und
>
> (**) [mm]\overrightarrow{B\varphi(B)}\in[/mm] W
>
> Aber ich kann mit den weiteren Informationen leider nichts
> anfangen.
> Kann mir jemand weiterhelfen?
[mm] $\varphi(B)\in [/mm] Y$ bedeutet, dass [mm] \varphi [/mm] jedes [mm] B\in \IR^3 [/mm] auf einen entsprechenden Punkt in Y projiziert.
[mm]\overrightarrow{B\varphi(B)}\in W[/mm] heißt einfach, dass [mm] \varphi [/mm] B in Richtung (0,1,1) auf den entsprechenden Punkt in Y abbildet, denn [mm] \overrightarrow{B\varphi(B)} [/mm] ist ein Vektor, der durch [mm] \mu(0,1,1)=\overrightarrow{B\varphi(B)} [/mm] für ein bestimmtes [mm] \mu\in\IR [/mm] dargestellt werden kann.
> Was genau versteht man anschaulich unter einer Projektion?
Siehe obige Erläuterung!
> Wie kann ich die Beiden oben beschriebenen Bedingungen (*)
> und (**) nutzen, um dier erste Teilaufgabe zu lösen?
Ich schreibe dir einfach mal, wie ich vorgehen würde, was nicht unbedingt der schnellste Weg sein muss.
Wir betrachten den Punkt [mm] B\in \IR^3. [/mm] Jetzt konstruieren wir uns eine Gerade G, die von einem bel., aber festen $B=(x, y, z)$ entlang W, d.h. in Richtung (0,1,1), verläuft. Das ist offensichtlich
[mm] $G=\{(x, y, z)+t(0,1,1)|t\in\IR\}$ [/mm] für ein bel., aber festes $(x, y, [mm] z)\in\IR^3$.
[/mm]
Jetzt suchen wir den Schnittpunkt der Geraden G mit der Hyperebene Y, d.h. wir suchen ein [mm] t\in\IR, [/mm] sodass $(x, y, [mm] z)+t(0,1,1)\in [/mm] Y $.
Löse dazu das lineare Gleichungssystem mit den unbekannten $t, r, [mm] s\in\IR$:
[/mm]
$(x, y, z)+t(0,1,1)=(2,1,1)+r(1,1,1)+s(1,0,-1) [mm] \gdw [/mm] (x-2, y-1, z-1)=r(1,1,1)+s(1,0,-1)-t(0,1,1)$.
Setzt du nun t bzw. r und s ein (such es dir aus), dann erhälst du den gesuchten Schnittpunkt für ein bel. Vektor $ B=(x, y, z)$. Das gibt dir gerade die Abbildungsvorschrift deiner Projektion.
Wie gesagt, weiß ich nicht, ob dies der schnellste Weg ist. Es ist auf jeden Fall m.E. der intuitivste.
> Tut mir leid aber weiter bin ich leider nicht gekommen :<
Dafür ist das Forum da. 
Mfg
Ladon
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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