Projektive Moduln < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:05 Do 26.07.2012 | | Autor: | valoo |
| Aufgabe | Definition:
1) Ein R-Modul P heißt projektiv genau dann, wenn es zu jedem Epimorphismus [mm] \varphi: [/mm] P [mm] \to [/mm] M einen Schnitt gibt, der Modulhomomorphismus ist.
2) Ein R-Modul P heißt projektiv genau dann, wenn es zu jedem Homomorphismus f: P [mm] \to [/mm] M'' und jedem Epimorphismus g: [mm] M\to [/mm] M'' einen Hom h gibt mit f = [mm] g\circ [/mm] h |
Hallo,
das sind zwei Definitionen von projektiven Moduln aus verschiedenen Büchern und ich würde gerne zeigen bzw. müsste zeigen, dass sie äquivalent sind, doch irgendwie sehe ich nicht, warum sie das sein sollten. Wenn ich z.B. vom ersten ausgehe, wie finde ich ausgehend von einem Morphismus f : P [mm] \to [/mm] M'' einen Epimorphismus und so???
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:31 Fr 27.07.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Definition:
> 1) Ein R-Modul P heißt projektiv genau dann, wenn es zu
> jedem Epimorphismus [mm]\varphi:[/mm] P [mm]\to[/mm] M einen Schnitt gibt,
> der Modulhomomorphismus ist.
> 2) Ein R-Modul P heißt projektiv genau dann, wenn es zu
> jedem Homomorphismus f: P [mm]\to[/mm] M'' und jedem Epimorphismus
> g: [mm]M\to[/mm] M'' einen Hom h gibt mit f = [mm]g\circ[/mm] h
>
> Hallo,
> das sind zwei Definitionen von projektiven Moduln aus
> verschiedenen Büchern und ich würde gerne zeigen bzw.
> müsste zeigen, dass sie äquivalent sind, doch irgendwie
Beide Definitionen sind mir noch nicht untergekommen. Bei 1) hat man normalerweise den Epi [mm] $\varphi [/mm] : M [mm] \to [/mm] P$ gegeben, und 2) habe ich noch gar nicht gesehen.
Woher hast du die Definitionen?
LG Felix
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:01 Do 02.08.2012 | | Autor: | Berieux |
Hi!
Bei 1) hat felix Recht. Die Abbildung muss von M nach P gehen.
2) ist denke ich die gängigere Definition. Sie sagt aus, dass Hom(P,-) ein exakter Funktor ist.
Um die Äquivalenz zu zeigen, zeige dies zunächst für freie Moduln. Dann zeige, dass ein Modul P genau dann projektiv ist, wenn P direkter Summand eines freien Moduls ist. Damit hast du dann den allgemeinen Fall. Du wirst Beweise dazu aber auch in vielen Büchern finden.
Viele Grüße,
Berieux
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