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Hallo,
ich beschäftige mich seit einiger Zeit mit affinen und projektiven Ebenen. Allerdings habe ich an einigen Stellen noch grundsätzliche Verständnisprobleme. Daher stelle ich hier einmal einen Zusammenhang dar und hoffe, dass jemand dazu etwas sagen kann.
In einer affinen Ebene $(A, [mm] \tilde [/mm] G)$ kann man mit Geraden $G,H,L [mm] \in \tilde [/mm] G$ die zentrale Perspektivität definieren.
Es seien dazu gegeben: $z [mm] \in [/mm] A [mm] \setminus [/mm] (G [mm] \cup [/mm] H)$, $G [mm] \nparallel [/mm] H$, $p := G [mm] \cap \{ z \parallel H \}$, [/mm] $q := H [mm] \cap \{ z \parallel G \}$.
[/mm]
Dann ergibt sich die folgende Abbildung:
[mm] $\zeta: [/mm] G [mm] \setminus \{ p \} \rightarrow [/mm] H [mm] \setminus \{ q \}, \zeta(x) [/mm] = [mm] \verline{x,z} \cap [/mm] H$.
Die Herausnahme der Punkte $p$ und $q$ stellt sicher, dass [mm] $\zeta$ [/mm] im Falle $G [mm] \nparallel [/mm] H$ wohldefiniert ist und surjektiv ist.
Wohldefiniert heißt hier, dass jeder Punkt aus $G [mm] \setminus \{p\}$ [/mm] ein Bild hat.
Surjektiv bedeutet, jeder Punkt aus $H [mm] \setminus \{q\}$ [/mm] hat ein Urbild.
Für $G [mm] \parallel [/mm] H$ ist [mm] $\zeta: [/mm] G [mm] \rightarrow [/mm] H, [mm] \zeta(x) [/mm] = [mm] \verline{x,z} \cap [/mm] H$ wohldefiniert und bijektiv.
Durch die Hinzunahme von neuen Punkten und einer neuen Geraden zur affinen Ebene $(A, [mm] \tilde [/mm] G)$ kann bei dieser zentralen Perspektivität auf die Ausnahmepunkte und die Fallunterscheidungen verzichtet werden. Warum ist dies so?
Diese Punkte nennt man dann Fernpunkte und diese Gerade nennt man Ferngerade.
Dieser neue Inzidenzraum heißt dann projektiver Abschluss.
Es wäre sehr nett, wenn jemand versuchen könnte, dieses Zusammenhang zu erklären.
Vielen Dank und viele Grüße,
Mathekeks.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:33 So 05.11.2006 | | Autor: | mariposa |
Du schließt die Punkte p und q deswegen aus, weil die Verbindungsgerade mit z eine Parallele zu H bzw. zu G ist.
Wenn du die Fernpunkte einführst, gibt es keine Parallelen mehr, du ordnest jeder Parallelklasse einen gemeinsamen zusätzlichen Punkt zu, so dass auch parallele Geraden einen Schnittpunkt haben. Deswegen existiert dein Problem mit den Punkten p und q nicht mehr und du brauchst keine Fallunterscheidung.
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